Вариант 16

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin ; б) z = ln(y²-x²),

2. Вычислить приближенно 2,01∙ 1,03/ ((2,01)⁴+(2,97)²),

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcos(x-2y²),

4. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^-x +e^-2y) где x = t², при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой,

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x+y+z+2 = xyz, в данной точке M₀ (2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой,

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x²+y²-3xy-x+y+2, M₀(2,1,0);

б) S: x²+y²-z-6 = 0, M₀(2,1,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции в т. M₀( ) в направлении линии x²+ y²+2x = 0 в сторону возрастания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = x –x²-y+6x+3.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x²+3y²-x-y+1 в области

D: x = 5, y = 0, x-y-1 = 0.

Вариант 17

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(x²-y²); б) z = arcsin .

2. Вычислить приближенно (2- )3,02.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 5xy²+lnxy².

4. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = lnt, y = t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x² + y² + z²-2xz = 2, в данной точке M₀ (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = arctg указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x²-y²+2z²+xz+xy = 3, M₀(1,2,1,);

б) S: x²+y²-4z² = 4, M₀(2,-1,1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(xy) в т. M₀(-1,4) в направлении линии y = -x+3 в сторону убывания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-5x²-3y²+2.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x² +2xy-0,5y²-4x в области D: y = 2x, y = 2, x = 0.

Вариант 18

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(x²-y²); б) z =

2. Вычислить приближенно tg46° sin29°.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции .

4. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cost при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: e^z-xyz-x+1 = 0, в данной точке M₀ (2,1,0) с точностью до двух знаков после запятой

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x+e ^–y) указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²+z²-4x+2y = 14, M₀(3,1,-4);

б) S: x²+y² = 5z, M₀(1,3,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(-6,8) в направлении линии y = (2/9)x² в сторону возрастания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = xy(12-x-y).

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+2,5y²-2xy-2x в области D: y = 0, y = 2, x = 0,x = 2.