Найти и изобразить на чертеже область определения функций
а)z =
; б)
z = ln(4+4x-y2).
Вычислить приближенно ( sin1,56)(cos1,58).
Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2- ln
.Вычислить значение производной сложной функции u = arccos(2x / y), где x = sint, y = cost при t =π, с точностью до двух знаков после запятой.
Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: xcosy + ycosz + zcosx = , в данной точке M0 (0, , π) с точностью до двух знаков после запятой.
Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x2+y2+2x+1) указанному уравнению .
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0, y0, z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: z = x2-y2-2xy-x-2y, M0(-1,1,1);
б) S: x2-5y+z2 = 0, M0(1,2,-3).
Определить градиент и производную заданной функции z = arctg
в т. M0(1,1) в направлении
линии x2+ y2
= 2x в сторону возрастания
аргумента x.Исследовать на экстремум функцию z = (x-5)2+y2+1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x2+3y2-2x-2y+2 в области D: y + x-1 = 0, y = 0, x = 0.
Вариант 14
Найти и изобразить на чертеже область определения функций
а)z =
; б)
z = arcsin3xy.
Вычислить приближенно 3,1+4,2-
.
Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos (x-
).Вычислить значение производной сложной функции u =
,
где x = 1-2t,
y = arctg t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: 3x2 y2+2xyz2-2x3z+4y3z = 4, в данной точке M0 (2,1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
Проверить, удовлетворяет ли данная функция u =
указанному уравнению
.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2-2y2+z2+xz-4y = 13, M0(3,1,2);
б) S: x2-7y+z2 = 4, M0(3,2,3).
Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(1,1) в направлении линии xy = 1 в сторону возрастания аргумента x.
Исследовать на экстремум функцию z = x3+y3-3xy.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x2 + 3y2-1 в области
D: y =
,
y = 0.
Вариант 15
Найти и изобразить на чертеже область определения функций
а) z = arccos(x+2y); б)
.
Вычислить приближенно 3,034+1,985+15.
Найти частные производные и полный дифференциал функции
.Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = et, y = 2-e2t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2-2y2+z2-4x+2z+2 = 0, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e –(x+3y) sin(x+3y) указанному уравнению .
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: 4y2-z2+3z+4xy-xz = 9, M0(1,-2,1);
б) S: x2-4y2+z2-4 = 0, M0(-2,1,2).
Определить градиент и производную заданной функции z = 5x2-3x-y-1 в т. M0(1,-1) в направлении, идущем от т. N(2,2)к т.M0.
Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-2x2-4y2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2-2xy-y2 + 4x + 1 в области D: y = 0, x+y+1 = 0, x = -3.