Вариант 10

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б)z = arcsin + arcsin(1-y).

2. Вычислить приближенно .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln( -1).

4. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^-x+e^y), где x = t², y = t³ при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: xy = z²-1, в данной точке M₀ (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e ^{- cos(x+ay)} указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y^{2 _} z²-2xy+2x = z, M₀(1,1,1);

б) S: 3x²-11y²+3z²+5 = 0, M₀(1,1,1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(6,8) в направлении линии x²+y² = 100 в сторону возрастания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = 6(x-y)-3x²-3y².

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+2xy-10 в области

D: y = 0,y = x²-4.

Вариант 11

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(y²-x²); б) z = .

2. Вычислить приближенно (3,02)3 .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = tg(y⁴x³).

4. Вычислить значение производной сложной функции u = e^y-2x-1, где x = cost, y = sint при t = , с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²-2y²+3z²-yz+y = 2, в данной точке M₀ (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e^xy указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:z = x²+y²+2x-2xy-y, M₀(-1,-1,-1);

б) S: x²+y²+2z² = 10, M₀(1,1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции в т. M₀( ) в направлении линии x²+y² = 2x в сторону убывания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = x²+xy+y²-6x-9y.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-2x-y в области

D: y = 0,y = 4, x = 0,x = 3.

Вариант 12

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(9-x²-y²); б) z = arcsin(x+y).

2. Вычислить приближенно ln( – ).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2xy + .

4. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cost при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²+2xz = 5, в данной точке M₀ (0,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция arctg указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = y²-x²+2xy-3y, M₀(1,-1,1);

б) S: x²+y²-4z² = 1, M₀(1,2,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(xy) в т. M₀(1,-1) в направлении линии y = -x в сторону возрастания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = (x-2)²+2y²-10.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 0,5x²-xy в области

D: y = 8, y = 2x².

Вариант 13