Контрольная работа Функция нескольких переменных Вариант 1

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) б)

2. Вычислить приближенно .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y²-e^-x).

4. Вычислить значение производной сложной функции u = e^x-2y, где , y = t³ при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x³+y³+z³-3xyz = 4, в данной точке M₀ (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+6z-4x+8 = 0, M₀(2,1,-1);

б) S: 4x²-9y²-9z²-36 = 0, M₀(3,0,0).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x+y) в т. M₀(1,3) в направлении линии y² = 9x в сторону возрастания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию .

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+y-xy в области

D: y = x,y = 4, x = 0.

Вариант 2

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin(x-y), б) z = ln(2-x-y) + .

2. Вычислить приближенно .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x²+y²)

4. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^x+e^-y), где x = t², y = t³ при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²-xy = 2, в данной точке M₀ (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+z²-4y² = -2xy, M₀(-2,1,2);

б) S: x²+y²-z = 6, M₀(1,-1,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = 5x²-3x-y-1 в т. M₀(2,1) в направлении, идущем от т. М₀ к т. N(5,5).

9. Исследовать на экстремум функцию z = x³+8y³-6xy+5.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-x-2y в области

D: y = x,y = 0 , x = 3.

Вариант 3

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) z = ln(1-x²-y²)+ .

2. Вычислить приближенно (1,03)^3,98 .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin .

4. Вычислить значение производной сложной функции u = y^x, где x = ln(t-1), при t = 2, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: , в данной точке M₀ (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x²+(y+1)²) указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+3z-xy = 7, M₀(1,2,1);

б) S: 4x²-9y² = 36, M₀(-3,0,0).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(6,-8) в направлении линии y = x² в сторону убывания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = 1+15x-2x²-xy-2y².

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+8y+2xy-4x в области

D: y = 0,y = 2, x = 0,x = 1.