1.2 Основи математичної логіки

Логічні уявлення - опис досліджуваної системи, процесу, явища у вигляді сукупності складних висловлювань, складених з простих (елементарних) висловлювань та логічних зв'язок між ними. Логічні уявлення та їх складові характеризуються певними властивостями і набором допустимих перетворень над ними (операцій, правил виводу і т.п.), що реалізують розроблені у формальній (математичній) логіці правильні методи міркувань - закони логіки.

С пособи (правила) формального представлення висловлювань, побудови нових висловлювань з наявних за допомогою логічно правильних перетворень, а також способи (методи) встановлення істинності чи хибності висловлень вивчаються в математичній логіці. Сучасна математична логіка включає два основні розділи: логіку висловлювань і охоплює її логіку предикатів (рис. 1.1), для побудови яких існують два підходи (мови), створюючих два варіанти формальної логіки: алгебру логіки і логічні обчислення. Між основними поняттями цих мов формальної логіки має місце взаємно однозначна відповідність. Їх ізоморфізм забезпечується в остаточному підсумку єдністю законів логіки, що лежать в основі допустимих перетворень.

Рис. 1.1 – Математична логіка

Основними об'єктами традиційних розділів логіки є висловлювання.

Під висловленням розумітимемо речення, про зміст якого можна сказати: істин­ний він чи хибний, і притому лише одне з двох. Звичай­но, це не означення. Поняття висловлення є в логіці висловлень вихідним, неозначуваним. Всі наукові знання (закони та явища фізики, хімії, біології та ін, математичні теореми і т.п.), події повсякденного життя , ситуації, що виникають в економіці і процесах управління, формулюються у вигляді висловлювань. Наказові і питальні речення не є висловлюваннями.

Саме ця властивість — бути істинним чи хибним — є характеристичною для висловлення як предмета ви­вчення логіки. Поняття істинності і хибності в логіці висловлень не аналізуються, а беруться як дані. Наприклад, “7 — просте число” є висловлення істин­не, “ТНЕУ — не вищий навчальний заклад” — висловлення хибне.

Розглянемо вираз “х більше від одиниці”. Цей вираз не е висловленням, бо немає змісту твердити про його істинність чи хибність доти, поки символ “x” не буде замінено назвою певного дійсного числа.

Визначення 1 Вираз, який не є висловленням, але стає ним після заміни всіх символів змінних, що входять до цього виразу, назвами відповідних предметів, називають висловлювальною формою або невизначеним висловленням.

Розглядаючи висловлення, виходять з двох основ­них припущень:

а) кожне висловлення є або істинним, або хибним, тобто третього не дано (закон виключеного третього);

б) жодне висловлення не є одночасно істинним і хибним (закон виключення су­перечності).

Позначимо значення “істинне” та “хибне” відповідно через “1” та “0”. Звичайно, “1” і “0” тут не є назвами чисел, а лише символами значень введеної функції істинності. Значення “1” і “0” називають значеннями істинності чи істинісними значен­нями.

Висловлювальні змінні позначають так само, як чис­лові змінні в математиці: р, q, r, p₁, p₂, p₃,… Замість цих символів можна підставляти довільні висловлення. Зви­чайно, символи р, q, r, p₁, p₂, p₃,… не є висловленнями, вони є змінними для висловлень (їх також нази­вають змінними висловленнями або пропозиційними буквами чи пропозиційними змінними).

Значення функції істинності для даного значення аргументу р позначатимемо | р|. Так, позначивши через p висловлення “2 — найменше просте число”, а через q — висловлення: “Число  дорівнює 3,14”, матимемо: |p|= 1, |q|=0.