1. Корректность и полнота исчислений логики предикатов Проблема разрешимости в логике предикатов

Многие математические задачи являются частным случаем некоторой общей схемы и поэтому могут быть решены посредством применения обобщенной процедуры к конкретной задаче. Например, можно ответить на вопрос: делится ли полином f(x) на полином g(x) с помощью алгоритма деления. Если остаток от деления будет равен нулю, ответом на вопрос будет «да». Иначе – «нет».

Метод, позволяющий ответить «да» на произвольный частный случай общего запроса, называется разрешающей процедурой. Задача нахождения такого метода для некоторого общего запроса называется проблемой разрешимости этого запроса.

Многие проблемы разрешимости в математике не могут быть решены в общем виде или имеют только частные решения, т.е. могут быть решены только при выполнении некоторых условий.

Проблема разрешимости в логике высказываний решается с помощью таблиц истинности. Если дано высказывание А, мы строим таблицу истинности А и проверяем, является ли А тавтологией. Если высказывание А есть тавтология, то А выводимо в логике высказываний. В противном случае А не выводимо в логике высказываний. Поэтому справедлива теорема:

Проблема разрешимости в логике высказываний имеет положительное решение.

Проблема разрешимости в логике предикатов не так проста. Формула  языка логики предикатов выводима тогда и только тогда, когда  общезначима, т.е. истинна во всех интерпретациях. Однако, число интерпретаций языка логики предикатов может оказаться бесконечным, и мы не в состоянии их все проверить. Хотя проблема разрешимости логики предикатов не может быть решена в общем виде, для некоторых частных случаев существуют решения [4].

Теорема. Проблема разрешимости имеет решение для формул в предваренной нормальной форме, в которых все кванторы существования стоят за квантором общности. Иначе говоря, существует алгоритмическая процедура, позволяющая определить, выводима формула

или нет.

Проблема разрешимости в логике предикатов состоит в нахождении алгоритмической процедуры, с помощью которой для каждого правильно построенного предложения можно решить, выводимо оно или нет, т.е. можно ли его доказать в логике предикатов.

В логике предикатов проблема разрешимости в общем случае не имеет решения, т.е. не существует алгоритмической процедуры, позволяющей определить, выводима ли данная формула или нет.

Корректность и полнота метода семантических таблиц

Теорема о полноте исчисления Бета. Если предложение  является следствием множества предложений S, то оно выводимо по Бету из S.

S ╞ , то S ├B 

Следствие. Если предложение  общезначимо, то оно выводимо по Бету.

Теорема корректности исчисления Бета. Если предложение  выводимо по Бету из множества предложений S логики предикатов, то  является следствием S:

S ├B , то S ╞ 

Следствие: если предложение выводимо по Бету, то оно общезначимо:

├B , то ╞ 

Теорема компактности. Множество предложений S выполнимо тогда и только тогда, когда каждое подмножество S выполнимо.

Корректность и полнота исчисления резолюций

Теорема корректности исчисления резолюций. Пусть S – множество дизъюнктов, и R*(S) – множество резольвент S. Если множество R*(S) содержит пустой дизъюнкт, то S не выполнимо: R*(S)  S не выполнимо.

Теорема полноты исчисления резолюций. Пусть S – множество дизъюнктов, и R*(S) – множество резольвент S. Если S не выполнимо, то множество R*(S) содержит пустой дизъюнкт:

S не выполнимо  R*(S)

Содержательно эта теорема означает, что для доказательства выполнимости или не выполнимости предложения методом резолюций, достаточно вывести пустой дизъюнкт из соответствующего множества дизъюнктов. Если имеется непротиворечивое множество дизъюнктов S, из которого следует вывести заключение , то мы применяем метод резолюции к множеству дизъюнктов SS`, где S`={ }. Если результатом добавления к множеству предложений S предложения станет получение пустого дизъюнкта в резолютивном выводе, это докажет, что общезначимо .