3.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Система уравнений
(3.23.1)
или
,
где
заданная непрерывная на
вектор-функция называется неоднородной
системой дифференциальных уравнений
первого порядка с постоянными
коэффициентами.
Общее решение этой системы равно сумме какого-либо ее частного решения и общего решения соответствующей однородной системы:
.
Если известно общее решение соответствующей однородной системы, то частное решение неоднородной системы (3.23.1) можно найти методом вариации постоянных или методом Лагранжа.
Пусть общее решение соответствующей однородной системы имеет вид:
.
Тогда частное решение ищется в виде:
,
где
– неизвестные функции
.
Чтобы найти эти функции, подставим
в исходную систему (3.23.1). В результате
получается система алгебраических
уравнений, определитель которой является
определителем Вронского системы
вектор-функций, то есть не равным нулю.
Решение системы дает выражения для
,
первообразные которых и являются
искомыми коэффициентами для
.