Однопараметрические мт
Для того чтобы учесть предысторию потока создаются более сложные МТ. Первым шагом на этом пути является введение в основную систему уравнений одного дополнительного дифференциального уравнения. В нем могут рассматриваться различные характеристики турбулентности, однако наиболее популярным методом является использование масштаба характеристической турбулентной скорости как корня квадратного из удельной кинетической энергии турбулентности k.
Уравнение кинетической энергии турбулентности
Кинетической энергией турбулентности будем в дальнейшем называть
(7.27)
Далее, в целях упрощения понимания
физического смысла уравнений, используем
индексную форму записи, в которой
повторяющиеся индексы обозначают
операцию суммы (например,
).
Уравнение для k можно вывести из уравнения Рейнольдсовых напряжений, помня, что k есть полусумма нормальных Рейнольдсовых напряжений
. (7.28)
Рассмотрим физический смысл каждого из членов уравнения (7.28). Члены в левой части описывают нестационарный и переносный (конвективный) темп изменения кинетической энергии турбулентности (КЭТ).
Первый член в правой части уравнения (7.28) обычно называется членом генерации и отражает удельную кинетическую энергию турбулентности на единицу объема вследствие действия сил трения в потоке. Этот член описывает потери энергии для осредненного потока на подпитку турбулентных пульсаций.
Второй член в правой части уравнения (7.28) известен как диссипативный и показывает средний удельный темп распада наименьших вихрей. Этот процесс - переход кинетической энергии в тепловую на молекулярном уровне посредством трения. Диссипация обозначатся и определяется из второго члена правой части уравнения (7.28)
. (7.29)
Отметим, что диссипация всегда положительна, т.е. в уравнении КЭТ всегда является стоком.
Третий член правой части уравнения (7.28) описывает диффузию (а не разрушение) k посредством молекулярного движения
.
Четвертый член правой части уравнения (7.28) описывает изменения k за счет сложных совместных флуктуаций скорости и давления
В целом все эти члены имеют смысл и форму общую для любого уравнения переноса. Отметим, что III и IV член уравнения лишь перераспределяют k в потоке. Генерация (I) и диссипация (II) являются единственными источниками и стоками k.
Однако, при моделировании возникает проблема замыкания и следовательно, чтобы проинтегрировать данное уравнение надо ввести некие корреляции для касательных напряжений, диссипации и диффузии, основанные на экспериментальном материале. В общем случае можем записать для плоского потока несжимаемой жидкости
, (7.30)
где t – есть турбулентная или «кажущаяся» вязкость, k –кинетическая энергия турбулентности, ij - оператор Кронекера.
Турбулентная вязкость рассматривается на аналогичной основе (как и в алгебраических МТ)
,
где l –масштаб
турбулентности (подобно записи
для алгебраических моделей).
В данном определении в неявном виде заложено предположение о том, что турбулентность характеризуется временным масштабом, пропорциональным временному масштабу осредненного потока. Это верно не для всех потоков, и иногда приводит к неточностям в расчетах. Кроме того, еще более грубое неявно введенное приближение – это изотропность турбулентности.