Степенной профиль скорости в пограничном слое

Логарифмический закон распределения скоростей хорошо подтверждается результатами эксперимента, но вызывает определенные трудности при численных расчетах. Во многих случаях можно воспользоваться приближенным степенным законом распределения скоростей

  или   . (7.22)

Здесь показатель степени n=n(Re) и по опытным данным меняется в пределах от n=1/6 при Re=4·10⁴ до n=1/10 при Re=3·10⁶. Для чисел Re≈10⁵ принимают n=1/7. Постоянная B=8,74. Для внешней границы формула (7.22) принимает вид:

. (7.23) Разделив (7.22) на (7.23) получим: . (7.24)

Степенная зависимость пригодна в ограниченном диапазоне чисел Re и только для гладких поверхностей. Однако ее преимущества неоспоримы: большая простота и возможность определения характеристик слоя в явном виде.

Следует отметить, что ни логарифмический, ни степенной законы не удовлетворяют условию равенства нулю производной от скорости на оси симметрии потока при течении в канале (трубе).

Алгебраические мт

Простейшие МТ, известные как 0-параметрические модели, используют гипотезу Буссинеска в чистом виде для расчета Рейнольдсовых напряжений

. (7.25)

Данный тип моделей для двумерного потока предполагает, что скорость смешения v_mix, есть величина того же порядка как пульсационная составляющая скорости, и она может быть определена на основе экспериментальных данных для широкого класса турбулентных течений. Т.е.

  или   .

Отсюда становится понятно, что основной задачей алгебраических МТ является определение турбулентного пути смешения l_mix.

Гипотеза о том, что путь смешения может быть использован сходным образом как длина свободного пробега, используемая для расчета вязкости идеального газа, во многих случаях обеспечивает физически обоснованное приближение для расчета турбулентной вязкости.

Однако, модель длины пути смешения имеет не столь хорошо разработанный и доказанный математический аппарат. Впрочем, на практике этот класс моделей легко калибруется на решение определенных классов инженерных задач.

Свободно-турбулентные течения

Термин «свободно-турбулентные течения» может быть рассмотрен как не ограниченный никакими твердыми поверхностями. В качестве примера можно привести три типа течения: турбулентный след за телом, слой смешения и свободная струя.

Для каждого из трех случаев вводится предположение, что длина пути смешения есть некая константа, помноженная на локальную толщину турбулентного слоя

l_mix.=(x).

	Тип течения	Турбулен­тный след	Плоская струя	Круглая струя	Плоский слой смешения
		0.180	0.098	0.080	0.071

Пристеночные течения

В свободно-турбулентных течениях длина пути смешения рассматривается как константа поперек слоя и изменяется пропорционально толщине турбулентного слоя. Для течения вблизи твердой поверхности следует определить способ описания, в соответствии с физической природой (см. рис. 7.6).

Рис.7.6 Представление пристеночной области

На основании экспериментальных фактов можно показать, что при обтекании плоской пластины количество движения меняется пренебрежимо мало, касательные напряжения практически постоянны и выполняется соотношение

В вязком подслое, где вязкие силы подавляют турбулентные пульсации, указанное уравнение перейдет в =y⁺ и в виде турбулентной вязкости может быть записана как

(7.26)

Три наиболее известных модификации модели пути смешения реализованы в МТ Ван Дриста, Шебеки-Смита и Болдуина-Ломакса.

В целом, алгебраические модели турбулентности показывают хорошее совпадение с экспериментом для таких случаев как развитое течение в трубе или течение в безградиентном пограничном слое, поскольку их константы были настроены именно на эти случаи. Для отрывных течений алгебраические модели турбулентности оказываются несостоятельны, вследствие неспособности учесть предысторию потока.