Гипотеза Буссинеска

В основу большинства используемых сегодня моделей турбулентности легла идея, известная как гипотеза Ж. Буссинеска или гипотеза турбулентной вязкости. В ней предполагается, что, по аналогии с вязкими напряжениями в ламинарных потоках, турбулентные напряжения пропорциональны градиенту осредненной скорости. Эта гипотеза базируется на рассмотрении турбулентных вихрей как частиц, подобных молекулам в кинетической теории. То есть, вихри заменяют молекулы в роли носителей тепловой энергии и количества движения. Для вязкого газа осредненное значение Рейнольдсовых напряжений для двумерного потока можно записать в виде

.

Вместо динамической вязкости  введен коэффициент турбулентного обмена A.

Развивая формальную аналогию, коэффициент A выражают через коэффициент турбулентного переноса количества движения A= и, следовательно,

. (7.16)

Исследования показали, что коэффициент турбулентного переноса количества движения  в турбулентном потоке является переменной величиной. Т.е. представление Буссинеска не приводит к решению задачи, т.к. отсутствуют прямые методы определения турбулентной вязкости (обмена).

Длина пути смешения Прандтля

Первого заметного успеха в этом направлении добился Л. Прандтль в 1925 году, предложив так называемую теорию пути перемешивания (смешения).

В основе ее лежит аналогия с кинетической теорией газов и предположение о том, что путь смешения зависит от условий течения. В соответствии с гипотезой Прандтля, каждый турбулентный моль (вихрь) жидкости переносит некоторое количество движения, которое сохраняется постоянным на пути перемешивания. Другими словами, длина пути перемешивания в известной мере аналогична длине свободного пробега молекул в кинетической теории газов, и определяет путь, который проходит моль жидкости, прежде чем он перемешается с другими жидкими образованьями и передаст свой импульс.

Допустив далее, что вертикальная и горизонтальная компоненты пульсационной скорости ( и ) являются величинами одного порядка, Прандтль получил формулу для определения турбулентного напряжения в виде

, (7.17)

где l_mix - длина пути перемешивания.

Вывод формулы Прандтля, можно найти в книгах:

1. Аржаников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Изд-во оборонной промышленности, 1956. - 483 с.

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.

3. Дейч М.Е. Техническая газодинамика. - М.: Энергия, 1974. - 592 с.

Здесь все постоянные включены в длину пути перемешивания. Откуда можно сделать вывод, что коэффициент турбулентного переноса количества движения можно представит в виде

.

Заметим, что длина пути смешения не является величиной постоянной и в первом приближении ее следует считать пропорциональной координате y, т.е.

l_mix=y,

где 0,4 – постоянная, определяемая по опытным данным («константа» турбулентности или постоянная Кармана). Подставив выражение для l_mix в формулу Прандтля, получим

(7.18)

Анализируя (7.18) можно отметить, что комплекс является аналогом коэффициента вязкости  и по смыслу может быть назван коэффициентом турбулентной («кажущейся») вязкости.

Прандтль исходил из аналогии движения турбулентных образований (молей) с движением молекул газа. Эта аналогия вследствие непрерывного взаимодействия молей неправомерна и постоянно подвергается критике. Однако важно обратить внимание на то обстоятельство, что, несмотря на ошибочность исходных предпосылок, Прандтль получил формулу, структура которой учитывает две характерные особенности турбулентного переноса в пристеночных течениях. Первая заключается в том, что вблизи твердой поверхности порождение энергии турбулентности приближенно равно ее диссипации. Эта особенность позже была подтверждена экспериментальными данными.

Второй особенностью турбулентного переноса в пристеночных течениях является то, что влияние стенки на турбулентность через пульсации давления сохраняется по всей толщине пограничного слоя. Введя зависимость линейного масштаба турбулентности, представленного в (7.17) длиной пути смешения l_mix, от расстояния от стенки и угадав линейный характер этой зависимости, Прандтль учел и вторую важную особенность турбулентного переноса в пристеночной области. Линейный характер зависимости l_mix от у вблизи стенки позже был подтвержден экспериментально.

К сожалению, на данный момент не существует универсальной модели турбулентности для широкого диапазона течений. Выбор модели турбулентности зависит от характера турбулентного потока, требуемой точности, доступных вычислительных ресурсов, и временных затрат необходимых для процесса моделирования. Для адекватного выбора модели турбулентности необходимо четко представлять свойства и ограничения каждой модели турбулентности.

Одной из основных целей данного раздела является краткий обзор существующих моделей турбулентности, а также требуемые ими вычислительные ресурсы: время процессора и оперативная память. Практически невозможно дать стопроцентную рекомендацию по выбору модели турбулентности в определенных промышленных областях, но можно представить основные критерии выбора, которые помогут определиться с моделью турбулентности для решаемой задачи.