Модифицированный алгоритм simpler

Алгоритм SIMPLE широко используется и дает удовлетворительные результаты. Однако при попытках улучшить его скорость сходимости был разработан модифицированный вариант алгоритма. Этот вариант получил название SIMPLER (SIMPLE Revised - исправленный).

Отличие simpler от simple

Приближение, принятое при выводе уравнения для p' (отбрасывание члена a_nbu’_nb), дает несколько завышенную поправку для давления, и, следовательно, становится необходимым использование метода нижней релаксации. Поскольку влияние поправок скорости в соседних близлежащих точках не присутствует в формуле для поправки скорости, то поправка давления содержит полный набор значении скорости, которые корректируются, и это сказывается на полях корректируемого давления. В большинстве случаев разумно предположить, что уравнение для поправки давления корректирует значение скорости, но не давления.

Рассмотрим простую задачу, в которой имеется одномерный поток с постоянной плотностью (=const) и заданной скоростью на входной границе. Нетрудно видеть, что скорость в этой задаче определяется только уравнением неразрывности и, следовательно, удовлетворяющее уравнению неразрывности поле скорости, полученное в конце первой итерации, будет окончательным.

Однако рассчитанное давление вследствие приближенного характера уравнения для p' далеко от окончательного решения. Прежде чем будет получено сходящееся поле давления, следует сделать много итераций, хотя корректное поле скорости получается намного раньше.

Если применять уравнения для поправки давления только для коррекции скоростей и обеспечивать некоторые другие способы получения улучшенного поля давления (учет a_nbu_nb), то получим более эффективный алгоритм - SIMPLER.

Уравнение для давления

Уравнение для нахождения поля давления можно получить следующим образом: уравнение количества движения (6.4) сначала запишем как

, (6.18)

где d_e=A_e/a_e.

Найдем псевдоскорость û_e:

(6.19)

Заметим, что псевдоскорость û_e определяется скоростями в соседних близлежащих точках и не содержит давления. В этом случае уравнение (6.18) принимает вид

(6.20)

Аналогично запишем

(6.21)

(6.22)

Легко заметить сходство между этими уравнениями и уравнениями (6.10) - (6.12). Здесь псевдоскорости û_e, Û_n, ŵ_t появляются вместо u^*, v^*, w^* и давление p занимает место p'. Т.е. можно записать уравнение для давления через псевдоскорости в виде

(6.23)

где ,   ,   ,

,   ,   ,

.

 

. (6.24)

Следует заметить, что выражение для b является только разностью между уравнением для давления (6.23) и уравнением для поправки давления (6.15). Выражение (6.24) использует псевдоскорости û_e, Û_n, ŵ_t, хотя b в уравнении для p' рассчитывалось через значение скоростей u^*, v^*, w^*. Несмотря на то, что уравнение для описания давления и уравнение для поправки давления почти идентичны, имеется одно важное отличие: при выводе уравнения для давления не вводились допущения. Таким образом, если корректное поле скорости использовалось для расчета псевдоскоростей, уравнение для давления сразу будет давать корректное значение давления.