Уравнение для поправки давления и скорости

Найдем способ улучшения приближенного поля p^* таким образом, чтобы результирующее поле скорости с каждой итерацией лучше удовлетворяло уравнению неразрывности. Предположим, что истинное давление находится из соотношения

(6.6)

где p' назовем поправкой давления. Надо выяснить, как будут изменяться составляющие скорости в соответствии с таким изменением давления. Аналогичным образом введем соответствующие поправки составляющих скорости:

, , . (6.7)

Вычитая (6.5) из (6.4), получаем

. (6.8)

Теперь выбросим член из уравнения (6.8). В результате получим

или (6.9)

Уравнение (6.9) назовем поправочной формулой для скорости. Его можно переписать в виде

(6.10)

Отсюда видно, какой должна быть поправка к значению скорости u_e^* определяемая поправками давления, чтобы получилось значение u_e. Аналогичным образом запишем поправочные формулы для других составляющих скорости:

(6.11)

(6.12)

Итак, мы провели предварительный анализ перед выводом уравнения для сеточных значений p', сам вывод уравнений приведен ниже.

Уравнение для поправки давления

Преобразуем уравнение неразрывности в уравнение для поправки давления. Предположим, что плотность  непосредственно не зависит от давления. Смысл этого предположения будет рассмотрен ниже. Вывод уравнений проведен для 3D случая. Легко можно получить уравнения также для 1D и 2D случаев.

Уравнение неразрывности имеет вид

. (6.13)

Проинтегрируем это уравнение по показанному на рис. 6.9 заштрихованному КО (на рис. 6.9 показано только 2D сечение). Напомним, что такой КО использовался при выводе дискретного аналога уравнения для обобщенной переменной Ф.

Рис. 6.9. КО для уравнения неразрывности: горизонтальные стрелки - места определения u, вертикальные стрелки - места определения v, точки - места определения других параметров

При интегрировании члена dp/dt предположим, что значение плотности во всем КО равно _P. Также будем считать, что значение массовой скорости на всей грани КО определяется значением составляющей скорости u_e в точке е.

В соответствии с полностью неявной аппроксимацией предположим, что новые значения скорости и плотности (в момент времени t+t) преобладают на всем шаге по времени; старое значение плотности _P⁰ (в момент времени t) будет входить только из-за наличия члена dp/dt. В этих предположениях интегрирование уравнения (6.13) дает (6.14)

.

Если, теперь вместо всех составляющих скорости подставить их выражения из поправочных формул для скорости (6.10)-(6.12), то после группировки соответствующих членов поручим следующее уравнение для сеточных значений p':

, (6.15)

где ,   ,   ,

,   ,   ,

,

Так как значения плотности  определены, вообще говоря, в узловых точках основной сетки, ее значения на границах, такие, как _e, можно рассчитать с помощью подходящей интерполяции. Независимо от применяемого способа интерполяции значения _e для двух КО, имеющих общую грань, должны быть согласованы между собой.

Из (6.15) можно видеть, что член b уравнения для поправки давления по существу равен (со знаком минус) левой части дискретного аналога уравнения неразрывности (6.14), записанного через значения составляющих скорости с индексом *.

Равенство b=0 означает, что эти составляющие вместе с имеющимся значением (_P⁰-_P) удовлетворяют уравнению неразрывности и не требуется никакой коррекции давления. Таким образом, член b представляет собой «источник массы», который должен быть скомпенсирован поправками давления (через соответствующие поправки скорости).

Итак, мы получили все уравнения, необходимые для определения составляющих скорости и давления. Теперь можно рассмотреть весь алгоритм решения в целом.