Шахматная сетка

Описанные выше трудности можно преодолеть, если понять что не обязательно рассчитывать все переменные в одних и тех же узловых точках. Можно по желанию использовать для каждой зависимой переменной свою сетку. При расчете составляющих скорости значительную выгоду дает определение их на сетке, отличной от сетки, которая используется для всех других переменных. Смещенная или шахматная сетка для расчета составляющих скорости впервые была использована в 1965 г. Использование такой сетки лежит в основе процедур SIVA и SIMPLE.

При расположенной в шахматном порядке сетке составляющие скорости рассчитываются для точек, лежащих на гранях контрольных объемов. Таким образом, составляющая скорости u вдоль оси x рассчитывается на гранях, перпендикулярных направлению оси x. Точки, в которых определяется u, показаны на рис. 6.5 стрелками, а узловые точки (назовем их основными) изображены кружками.

На рис. 6.6 показана двухмерная сетка, где узловые точки для u и v помещены на соответствующих гранях КО. Точно таким же образом можно сконструировать соответствующую трехмерную сетку.

Рис. 6.5 Расположение u в шахматном порядке: горизонтальные стрелки - места определения u, точки - места определения других параметров.

Рис. 6.6 Расположение u и v в шахматном порядке: горизонтальные стрелки - места определения u, вертикальные стрелки - места определения v, точки - места определения других параметров.

Прямым следствием введения шахматной сетки является то, что массовый расход через грани КО можно теперь определять без интерполяции соответствующей составляющей скорости (запись массовых расходов F).

Достоинства:

1. Для типичного КО дискретный аналог уравнения неразрывности содержит разности составляющих скорости в соседних точках, а это приводит к тому, что волнистое поле скорости (см. рис. 6.4) не будет удовлетворять уравнению неразрывности (при использование шахматной сетки только физичные поля скорости могут удовлетворять уравнению неразрывности).

2. Разность давлений между двумя соседними узловыми точками определяет составляющую скорости в точке, расположенной между этими узловыми точками (т.е. поля давления, показаны на рис. 5.2 и 5.3, не будут восприниматься как равномерные и не могут использоваться как возможные решения).

Следует учесть, что при использовании шахматном сетки надо предусмотреть в программе соответствующую индексацию и хранение геометрической информации, связанной с расположением узловых точек для составляющих скорости, а также дополнительную интерполяцию результатов.

Однако преимущества использования такой сетки намного превосходят дополнительные сложности.

Уравнение количества движения

Для уравнения количества движения Ф обозначает одну из составляющих скорости и коэффициенту Г и свободному члену S следует придать соответствующий смысл. При использовании шахматной сетки дискретные аналоги уравнений количества движения несколько отличаются от дискретных аналогов уравнений для других Ф, рассчитываемых в узлах основной сетки. Однако это отличие относится к несущественным деталям. Оно связано с использованием для аппроксимации уравнений количества движения КО на шахматной сетке. КО для уравнения количества движения в направлении оси x показан на рис. 6.7. Если иметь в виду точки для нахождения только составляющей u, в этом КО нет ничего необычного.

Рис. 6.7 КО для u: горизонтальные стрелки - места определения u, точки - места определения других параметров

Его грани лежат между точкой e и соответствующими соседними точками для u. Однако он смещен по отношению к обычному КО, расположенному вокруг основной узловой точки Р. Смещение объема произошло только в направлении оси x таким образом, что перпендикулярные этому направлению грани проходят через основные узловые точки P и E.

Отсюда видно одно из главных достоинств шахматной сетки: разность p_P-p_E, можно использовать для расчета силы давления, действующей на КО для скорости u. Для расчета коэффициента диффузии и массового расхода на гранях КО, показанного па рис. 6.7, потребуется соответствующая интерполяция. Результирующий дискретный аналог можно записать в виде

. (6.4)

Здесь число соседних членов a_nbu_nb зависит от размерности задачи. Для двухмерной задачи - четыре точки вне КО; в трехмерном случае войдут шесть соседних значений u. Значения коэффициентов a_nb связаны с влиянием совместных конвективных и диффузионных процессов на гранях КО.

Член b определяется так же, как и ранее, но градиент давления не включен в составляющие источникового члена S_C или S_P. С градиентом давления связан последний член в (6.4). Так как требуется определить поле давления, было бы нецелесообразно включать давление в источниковый член уравнения количества движения.

Член (p_P-p_E)A_e представляет собой силу давления, действующую на КО для u, а A_e - площадь поверхности, на которую действует этот перепад давления. В двухмерном случае A_e=y·1, в трехмерном A_e=yz.

Уравнения количества движения в других направлениях аппроксимируются таким же образом. На рис. 6.8 показан КО для уравнения количества движения в направлении оси y он смещен вдоль оси y. Дискретный аналог будет иметь вид

,

где (p_P-p_N)A_n - соответствующая сила давления. В трехмерном случае аналогичное уравнение можно записать для составляющей скорости w.

Рис. 6.8 КО для v: вертикальные стрелки - места определения v, точки - места определения других параметров.

Уравнения количества движения можно решить только в том случае, если поле давления задано или каким-то образом найдено. Если при решении использовать неверное поле давления, найденное поле скорости не будет удовлетворять равнению неразрывности. Выразим такое поле скорости, полученное с использованием приближенного поля давления p*, через u*, v*, w*. Это поле скорости находится в результате решения следующих уравнений: (6.5) В этих уравнениях составляющим скорости и давлению приписан верхний индекс *. Отметим, что точка t лежит на сеточной линии, направленной вдоль оси z и проходящей через узловые точки Р и Т.