Проблемы при определении поля давления Аппроксимация градиента давления
Рис. 6.1 3-хточечный шаблон (заштрихованная область - КО) |
При составлении дискретного аналога уравнения количества движения в направлении оси x для одномерного случая, показанного на рис. 6.1, единственной особенностью является представление члена –дp/дx, проинтегрированного по КО. |
В результате интегрирования в дискретный аналог войдет разность давления pw-pe, которая представляет собой силу давления, приложенную к КО с единичной площадью поперечного сечения.
.
Чтобы выразить pw-pe через давления в узловых точках, можно предположить, что давление между узловыми точками изменяется по линейному закону. Если грани КО e и w выбраны так, что они лежат посередине между соответствующими узловыми точками, то можно записать
(6.1)
Таким образом, дискретный аналог уравнения количества движения будет содержать разность давлений между двумя не соседними точками. Это означает, что давление берется с сетки более грубой чем основная, и это должно привести к снижению точности решения. Второй недостаток - лучше виден из рис. 6.2, на котором поле давления представлено через его значения в узловых точках.
Рис. 6.2 «Зигзагообразное» поле давления |
При этом для каждой узловой точки P выражения для градиента давления будет выполнятся условие: PW-PE=0. Т.е. волнистое поле давления будет восприниматься в уравнении количества движения как однородное. |
Эта трудность еще более усугубляется в 2D (а тем более 3D) случае. Так же как на количество движения в направлении оси x влияет перепад давления PW-PE, на количество движения в направлении оси y влияет перепад давления PS-PN, при этом значение давления в точке P не играет никакой роли (см. рис. 6.3).
100 |
300 |
100 |
300 |
100 |
27 |
5 |
27 |
5 |
27 |
100 |
300 |
P=100 |
300 |
100 |
27 |
5 |
27 |
5 |
27 |
100 |
300 |
100 |
300 |
100 |
Рис. 6.3 Шахматное поле давления
Имея это в виду, можно сделать вывод о том, что показанное на рис. 6.3 поле давления, образованное из расположенных в шахматном порядке четырех произвольных значений давления, не даст силу давления в направлениях осей x или y.
Таким образом, при рассмотренном способе дискретизации уравнений количества движения сильно неоднородное поле давления будет восприниматься как однородное. Если бы в процессе итерационного решения возникли такие поля давления, они бы не сохранились в процессе, так как уравнения количества движения «забудут» об этих полях.
Естественно, что численный метод, который допускает такие абсурдные решения, нежелателен.
Аппроксимация уравнения неразрывности
Аналогичная трудность возникает при построении дискретного аналога уравнения неразрывности. Для стационарного одномерного течения жидкости с постоянной плотностью уравнение неразрывности имеет вид
(6.2)
Проинтегрировав это уравнение по изображенному на рис. 6.1 КО, получим
Так же как и ранее используя кусочно-линейные профили для u и располагая грани КО посередине между узловыми точками, получаем
(6.3)
Итак, аппроксимация уравнения неразрывности привела к приравниванию скоростей в чередующихся узловых точках, а не в соседних (аналогично давлению).
Рис. 6.4 Волнистое поле скорости |
В результате дискретному аналогу (6.3) уравнения неразрывности может удовлетворять нефизичное поле скорости (рис. 6.4). |
Аналогичные картины полей всех составляющих скорости можно составить для двух- и трехмерных случаев. Они будут удовлетворять уравнению неразрывности, но вряд ли могут быть получены как имеющие физический смысл решения задачи.
Эти трудности надо исключить до формулировки численного метода решения задачи в переменных, включающих составляющие скорости и давление. Прежде чем перейти к изложению способа преодоления указанных трудностей, отметим, что сложности численного анализа связаны, по-видимому, с первыми производными. Поведение вторых производных обычно не создает сложностей.