Вероятность
Определение. Числовая функция P, определенная на алгебре событий F, называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:
А1. Аксиома неотрицательности.
Для любого AF P(A)0.
А2. Аксиома нормированности.
P()=1.
А3. Аксиома аддитивности.
Если A и B несовместны, то P(A+B)=P(A)+P(B).
Аксиомы А1–А3 необходимы, чтобы вероятность P(A) была числом, около которого колеблются частоты wn(A) при большом числе испытаний n, так как сами частоты удовлетворяют А1–А3. Действительно, пусть некоторый опыт повторен n раз и nA – число опытов, в которых осуществилось реальное событие A. Очевидно, что
,
.
Если реальные события A и B несовместны, то они осуществляются при разных опытах и, следовательно, nA+B=nA+nB. Отсюда
,
что соответствует А3.
Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, аксиомы А1–А3 дополняют аксиомой А4:
А4. Расширенная аксиома аддитивности.
Если в последовательности
A1,A2,...,An,...
события попарно несовместны (т.е. AiAj=
при ij)
и A=
F,
то P(A)=
.
Тройку (,F,P), в которой P удовлетворяет А1–А4 и множество F не только является алгеброй событий, но еще и содержит счетные суммы и произведения событий, называют вероятностным пространством.
Система аксиом А1–А4 вероятностного пространства дает самую общую математическую модель случайных явлений.
Из аксиом А1–А4
следуют несколько простых свойств
вероятности. Из аксиом А2–А3
и равенства A+
=
следует, что P()=P(A+
)=P(A)+P(
)=1,
или P(
)=1–P(A).
Полагая здесь A=,
=,
получим, что P()=0.
Представим любые события A и B, A+B в виде A+B=A+B и B=B +BA. События в правых частях этих равенств несовместны и, следовательно, P(A+B)=P(A)+P(B ), P(B)=P(B )+P(AB) и для любых событий A и B (необязательно несовместных) имеет место формула
P(A+B)=P(A)+P(B)–P(BА).
КОНЕЧНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть ={1,2,...,N}
–
конечное вероятностное пространство
(N
–
натуральное число), F
–
алгебра всех подмножеств множества .
Пусть заданы неотрицательные числа
P(),
такие, что
.
Вероятностью события A={
,
,...,
},
AF
называют число P(A),
определенное формулой
.
Так, определенная вероятность (вместе с P()=0) удовлетворяет всем аксиомам. Числа {P()} являются вероятностями элементарных событий (элементарными вероятностями).
Пример 4.3.
В условиях примера 4.1 элементарные
вероятности можно выбрать, например,
так: P(1)=P(2)=...=P(6)=
,
а можно и так: P(1)=P(2)=...=P(5)=0,
P(6)=1.
В первом случае кость называется
"правильной", во втором "неправильной"
(кубик игральной кости склеен из плотной
бумаги и к грани, противоположной грани
с "6", прикреплен груз).
Частным случаем
определения вероятности является
классическое
определение вероятности,
когда вероятности P(),
одинаковы. Обозначим M
число элементов во множестве M.
Так как
,
то
и
,
где ={1,...,N},
A={
,...,
}.
Определение. Вероятность случайного события A равна отношению числа элементарных событий, при которых событие A происходит, к общему числу элементарных событий.
Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью реальных опытов с конечным числом элементарных исходов, когда из соображений симметрии ясно, что все исходы равновозможны.
При нахождении вероятностей в схеме классического определения используют комбинаторные формулы для числа подмножеств некоторого множества.