139

Тема 4. Теория вероятностей

Программный объем темы:

1. Случайные явления. Серии опытов со случайными исходами, частота, свойства частот.

Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними.

Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства, классическое определение вероятности. Формулы комбинаторики.

Условные вероятности, независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса.

Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра - Лапласа и Пуассона.

2. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений. Числовые характеристики случайных величин. Система двух случайных величин, функция распределения, числовые характеристики. Корреляционный момент, коэффициент линейной корреляции и его свойства.

3. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева, теорема Чебышева, теорема Бернулли.

Случайные явления

Теория вероятностей изучает математические модели массовых случайных явлений (случайных событий). Случайными называются такие явления (события), в отношении которых наблюдается неоднозначность исхода при повторении опыта (испытания, эксперимента) с сохранением основных условий его проведения. Случайными событиями являются, например, выпадение определенного числа очков при подбрасывании игрального кубика (кости), результаты измерений, длительность телефонного разговора и т.д. Теория вероятностей изучает массовые случайные события, т.е. события, возникающие в результате осуществления условий, которые можно (хотя бы в принципе) воспроизводить любое число раз.

Экспериментальной характеристикой случайного события A является частота w_n(A)= , где n_A – число опытов, в котором событие A наступило, n – общее число опытов. Массовые случайные события, как правило, обладают свойством статистической устойчивости частот, т.е. частота при увеличении n становится почти постоянной. Таким образом, с каждым событием A можно связать некоторое число P(A), с которым сближается частота, и считать это число вероятностью события A. Такое описание вероятности нельзя считать удовлетворительным. Чтобы придать этому описанию точный смысл, необходимо построить математическую модель случайного явления.

Пространство элементарных событий

Изучаемые явления теория вероятностей рассматривает в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы, связывая каждое из них с некоторым основным множеством ={}. В реальном опыте элементам  множества  соответствуют взаимоисключающие исходы. Например, при однократном подбрасывании игральной кости такими исходами будут выпадение одного из чисел 1,2,3,4,5,6. Множество  состоит из шести элементарных (неразложимых) событий (исходов): ={₁,₂,₃,₄,₅,₆}, где элемент _k означает событие, состоящее в выпадении k очков. Наряду с элементарными событиями различают составные события, например, событие A={выпадало четное число очков}. Составные события, или просто события, могут быть описаны как подмножества множества элементарных событий : A={₂,₄,₆}. Все события, связанные с данным опытом, могут быть описаны с помощью элементарных событий . Совокупность всех элементарных событий  называют пространством элементарных событий.

Множество ={₁,₂,₃,₄,₅,₆} называют конечным. Если опыт состоит в подбрасывании монеты до первого выпадения герба, то  содержит бесконечное множество элементов: ={}={(Г),(Ц),(ЦГ),(ЦЦ),(ЦЦГ),...}, где, например, элемент (ЦГ) означает событие, состоящее в выпадении сначала цифры, затем герба. Если опыт состоит в бросании точки на отрезок [0,1], то пространство элементарных событий имеет бесконечное множество точек x, таких, что 0x1: ={=x: 0x1}.

Определение. Пространством элементарных событий будем называть произвольное множество ={}, а элементы  этого множества будем называть элементарными событиями.

Для описания каждого реального опыта множество  выбирается наиболее подходящим образом. При этом все мыслимые исходы опыта {} регистрируются как можно более подробно.