Моменты инерции

Из механики известно, что моментом инерции материальной точки массы m относительно какого-либо центра O (или какой-то оси, или какой-то плоскости) называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния ее до центра O (соответственно до оси или плоскости).

Момент инерции системы точек (относительно одного и того же центра, оси или плоскости) равен сумме соответствующих моментов инерции всех точек системы.

При непрерывном распределении масс по фигуре Ф вместо суммы появляется определенный интеграл по фигуре Ф.

Так, например, для плоской материальной пластины D, плотность  которой есть заданная функция =(x,y), моменты инерции относительно координатных осей Ox, Oy вычисляются по формулам

Момент инерции изогнутой материальной пластины Q с плотностью =(x,y,z) относительно плоскости xOy будет равен

Для пространственного тела R с плотностью (x,y,z) момент инерции относительно начала координат определяется по формуле

а моменты инерции относительно координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно:

Рис. 2.27

Пример. Найти момент инерции однородного полукруга радиуса a относительно его диаметра.

Решение. Расположим оси координат так, как показано на рис.2.27. Искомый момент инерции равен моменту инерции относительно оси Ox. Положим =1. Так как областью интегрирования служит круг, то вычисления проводим в полярных координатах:  0ra.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА

(КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ)

Определение и свойства

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая кривая Г. Кривую с установленным на ней направлением движения назовем ориентированной кривой (на рис.2.28 это направление от А к В показано стрелкой).

Пусть, далее, на кривой задана непрерывная функция точки Р:f(P)=f(x,y,z).

Разобьем кривую Г на части L₁,L₂,...,L_n (как и ранее, L_i обозначают и саму часть, и ее длину). Направление движения точки по любой части L_i считаем совпадающим с установленным направлением движения по кривой Г.

Наибольший из диаметров частей L_i обозначим через .

Интегральная сумма составляется следующим образом(например, по координате y):

.

Рис. 2.28

Проекции y_i берутся с учетом их знаков: проекцию y_i части L_i считают положительной, если направление движения проекции на ось Oy движущейся по L_i точки совпадает с положительным направлением на оси Oy. В противном случае считают y_i0.

Если существует предел (не зависящий от способа составления интегральных сумм)

,

то этот предел называется криволинейным интегралом по координате y от функции f(P) по ориентированной кривой Г и обозначается

.

Если кривая Г – замкнутая, то интеграл можно обозначить так: .

Новый интеграл называют криволинейным интегралом второго рода в отличие от введенного ранее криволинейного интеграла по длине дуги (криволинейного интеграла первого рода):

.

Интегралы по координатам x и z: и определяются точно так же.

Отметим основные свойства криволинейного интеграла по координатам:

1. ;

2. , k=const;

3. ,

если кривая Г разбита на две части Г₁ и Г₂ и движение по этим частям установлено в том же направлении, как и на всей кривой;

4) если направление движения по кривой Г изменить на противоположное, то

.

В теории дифференциальных уравнений и в теории векторного поля применяются комбинации интегралов по координате вида

.

Такой интеграл называют составным криволинейным интегралом.

Функции X(P), Y(P) и Z(P), заданные на кривой Г, часто целесообразно считать проекциями (на координатные оси Ox, Oy и Oz соответственно) определенной в каждой точке этой кривой вектор-функции .