Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть область D ограничена двумя кривыми с полярными уравнениями r=r₁(), r=r₂() и лучами =₁, =₂, идущими из полюса 0 (рис.2.15).

Рис. 2.15

Требуется вычислить Используя связь между декартовыми и полярными координатами , и выражение для элемента площади в полярных координатах (область D разбиваем на части окружностями r=const и лучами =const, рис.2.16), получаем:

Рис. 2.16

Итак, сначала интегрируем по r при произвольном, но фиксированном  в пределах от точки входа (r=r₁()) до точки выхода (r=r₂()), а затем – по  в пределах его наибольшего изменения.

При использовании полярных координат внутренний интеграл всегда берется по r.

Пример. Вычислить если область D определена неравенствами x²+y²1 и x²+y²

Рис. 2.17

Решение. Область D ограничена окружностями x²+y²=1 и x²+y²= (рис. 2.17). Полагая , , запишем уравнения этих линий в полярной системе координат: r=1 и r= .

Найдем координаты точки A: 1= , = , 6, A(1,6). Следовательно, B(1,–6).

Тогда

Вычисление поверхностного интеграла

Рис. 2.18

Пусть функция f(x,y,z) определена на поверхности Q (рис. 2.18). Требуется вычислить . Будем считать, что уравнение поверхности Q разрешено относительно координаты z и имеет вид

z=(x,y).

Связь между бесконечно малым элементом dq поверхности Q и его проекцией на плоскость xOy (эта проекция dS является бесконечно малым элементом области D, в которую проектируется на плоскость xOy поверхность Q) выражается формулой

Так как на поверхности Q z=(x,y), то f(x,y,z)=f(x,y,(x,y)). Отсюда следует, что

(2.4)

Эта формула сводит вычисление поверхностного интеграла по изогнутой поверхности Q к вычислению двойного интеграла по плоской области D.

Если поверхность Q задана уравнением y=(x,z) или x=(y,z), то формула вычисления поверхностного интеграла получается аналогичным образом. Наконец, если на разных участках поверхность задана разными уравнениями, то надо интегралы подсчитывать отдельно по каждому участку и воспользоваться свойством аддитивности интеграла.

Рис. 2.19

Пример. Найти площадь части параболоида z=3–x²–y², расположенной над плоскостью xOy.

Решение. В силу свойства 4 определенного интеграла по фигуре

Преобразуем этот интеграл по вышеуказанной формуле (2.4) и введем полярные координаты. Тогда получим:

Вычисление тройного интеграла

Рис. 2.20

Прежде всего рассмотрим выражение для бесконечно малого элемента объема dV=dxdydz (разбиваем тело R на элементарные части тремя семействами плоскостей x=const, y=const, z=const), рис. 2.20.

Поэтому тройной интеграл записывают еще так:

Рис.2.21

Предположим, что тело R ограничено снизу поверхностью z=z₁(x,y), сверху - поверхностью z=z₂(x,y) и с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz (эта поверхность может отсутствовать). Функции z=z₁(x,y) и z=z₂(x,y) заданы в области D  проекции тела R на плоскость xOy. Каждая прямая, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку P области D, пересекает границу R в двух точках  точке входа A на поверхности z=z₁(x,y) и точке входа B на поверхности z=z₂(x,y) (рис. 2.21).

Для такого тела R справедливы неравенства

axb, ₁(x)y₂(x), z₁(x,y)zz₂(x,y)

и следующая формула для вычисления тройного интеграла:

(2.5)

Таким образом, чтобы вычислить тройной интеграл, сначала интегрируют f(x,y,z) по переменной z от точки входа до точки выхода, считая x и y постоянными. Затем от полученной функции двух переменных x и y берут двойной интеграл по проекции D тела R на плоскость xOy.

Заметим, что при вычислении двойного интеграла часто используют полярные координаты. Следует также указать, что если тело R ограничено поверхностями x=x₁(y,z) и x=x₂(y,z) и цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси Ox, то в формуле (2.5) внутреннее интегрирование ведется по x при постоянных y и z, а двойной интеграл вычисляется по проекции тела R на плоскость yOz. Аналогичные изменения в формуле (2.5) следует сделать, если тело ограничено поверхностями y=y₁(x,z) и y=y₂(x,z) и цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси Oy.

a б

Рис. 2.22

Пример. Вычислить где R тело, ограниченное конусом (x0, y0) и плоскостями x=0, y=0, z=c, c0.

Решение. Построим тело R в декартовой системе координат (рис. 2.22,а). Для вычисления тройного интеграла целесообразно спроектировать тело R на плоскость xOz. Проекцией является треугольник OMK, ограниченный прямыми z=c, x=0 и x=az/c. Последнее уравнение получаем из системы

При этом область D (треугольник OMK) определяется неравенствами 0zc, 0xaz/c (рис.2.22,б).

Точка входа A в область R лежит на плоскости y=0, точка выхода B – на конусе, то есть

;

уравнение конуса разрешается относительно y: .

Итак,