Глава 14. Управление памятью и b-деревья

сложность сортировки и связанных проблем, устанавливая верхние и более низкие границы, includ-луг более низкое направляющееся в сортировку данного в этой главе. Гудрич и др. [40] изучает сложность ввода/вывода нескольких вычислительных проблем геометрии. Читатель, заинтересованный дальнейшим исследованием алгоритмов I/O-efficient, поощрен исследовать бумагу обзора Vitter [99].

Приложение

A

Полезные математические факты

В этом приложении мы даем несколько полезных математических фактов. Мы начинаем с некоторых комбинаторных определений и фактов.

Логарифмы и образцы

Функция логарифма определена как

_logb = c если = ^{до н.э}.

Следующие тождества держатся для логарифмов и образцов:

1.2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

_logb ac = _logb + _logb c _logb счет = _logb- _logb c

_logb ^ac = c _logb a

_logb = (_logc a) / _logc b

blogc = alogc b

^{(ba) c} = ^{баккара babc} = ^{ba+c ba/bc} = ^{баккара}

Кроме того, у нас есть следующий. Предложите 1: Если a> 0, b> 0, и c> + b, то

зарегистрируйтесь +, регистрируют bрегистрацию за 2£ c- 2.

Оправдание: достаточно показать этому ab <c2/4. Мы можем написать

ab =

=

a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab- b2

4

(+ b) ²- (-b) 2£ (+ b) ² <c2. 4 4 4

Естественный логарифм функционирует ln x = _ложа x, где e = 2.71828..., ценность следующей прогрессии:

e = 1 + 11! + 2! + 31! +. 1

690

Кроме того,

Приложение A. Полезные математические факты

2 3

2 3

^{исключая} = 1 + 1x! + x! + x! +

2 3 4

2 3 4

ln (1 + x) = x- x! + x!- x! +.

Есть много полезных неравенств, касающихся этих функций (которые происходят из этих определений).

Предложите 2: Если x>-1

1+x x£ ln (1 + x)£ x.

Предложите 3: За0£ x <1

1

1 + x£ ^{исключая}£1- x.

Предложите 4: Для любых двух положительных действительных чисел x и n

1 + x n£ ^{исключая}1£ + x n+x/2.n n

Функции целого числа и отношения

«floor» и «перекрывающие» функции определены соответственно следующим образом:

1.⌊x ⌋ = самое большое целое число, меньше чем или равное x

2.⌈x ⌉ = самое маленькое целое число, больше, чем или равный x.

Оператор модуля определен для целых чисел³ 0 и b> 0 как

ультрасовременный b =- b. b

Функция факториала определена как

n! = 1 2 3 (n- 1) n.

Двучленный коэффициент

n =

k

n!

k! (n- k)!,

который равен числу различных комбинаций, которые можно определить, выбрав k различные пункты из коллекции n пунктов (где заказ не имеет значения). Имя «двучленный коэффициент» происходит из двучленного расширения

n

(+ b) ⁿ = å n ^akbn-k.

k = 0 k

У нас также есть следующие отношения.

Приложение A. Полезные математические факты

Предложите 5: Если0£ k£ n, то

n kk

£ n£ n!. k

k k

691

Предложите 6: приближение Стирлингса

n

n! =

Ö

2pn n

e

1 + 11n +e (n), 2

гдеe (n) является O (1/n2).

Прогрессия Фибоначчи - числовая прогрессия, таким образом что F0 = 0, F1 = 1,

и _Fn = _Fn-1 + _Fn-2 для n³ 2.

_{A.Ö суждения}, Если _Fn определен прогрессией Фибоначчи, то _Fn -Q ^(gn), 7:

где g = (1 + 5)/2 является так называемым золотым отношением.

Суммирование

Есть много полезных фактов о суммировании. Предложите 8: суммирование Факторинга

n n

å1a f (i) =å1 f (i),

i = я =

если не зависит от меня. Предложите 9: Изменение заказа

n m m n

i = j = å1 å1 f (я, j) =

j = я = å1 å1 f (я, j).

Одна специальная форма суммирования - складывающаяся сумма

n

i = å1 (f (i) - f (i-1)) = f (n) - f (0),

который часто возникает в амортизируемом анализе структуры данных или алгоритма.

Следующее - некоторые другие факты о суммировании, которое часто возникает в анализе структур данных и алгоритмов.

Предложите 10:^ån=1 i = n (n + 1)/2. я

Предложите 11:^{ån=1 i2} = n (n + 1) (2n + 1)/6. я