Глава 13. Алгоритмы графа

C-13.5 Университет Тамариндо и много других школ во всем мире делают сустав

проект на мультимедиа. Компьютерная сеть построена, чтобы соединить эти школы, используя линии связи, которые формируют свободное дерево. Школы решают установить файловый сервер в одной из школ, чтобы разделить данные среди всех школ. Так как время передачи на связи во власти установки связи и синхронизации, стоимость передачи данных пропорциональна числу используемых связей. Следовательно, желательно выбрать «центральное» местоположение для файлового сервера. Учитывая свободное дерево T и узел v T, оригинальность v - длина самого длинного пути от v до любого другого узла T. Узел T с минимальной оригинальностью называют центром T.

a. Проектируйте эффективный алгоритм что, учитывая n-узел свободное дерево T, com-

putes центр T.

b. Действительно ли центр уникален? В противном случае, сколько отличных центров может свободное

дерево имеет?

C-13.6 Покажите это, если T - дерево BFS, произведенное для связанного графа G, то, для

у каждой вершины v на уровне i, пути T между s и v есть я края, и у любого другого пути G между s и v есть, по крайней мере, я края.

C-13.7 Временная задержка междугородного звонка может быть определена, умножившись

маленькая фиксированная константа числом линий связи на телеке - звонит сети между посетителем и вызываемым. Предположим телефонная сеть - работа компании под названием RT&T является свободным деревом. Инженеры RT&T хотят вычислить максимальную возможную временную задержку, которая может быть experi-enced в междугородном звонке. Учитывая свободное дерево T, диаметр T - длина самого длинного пути между двумя узлами T. Дайте эффективный алгоритм для вычисления диаметра T.

C-13.8 У компании под названием RT&T есть сеть n переключающиеся связанные станции

m быстродействующими линиями связи. Телефон каждого клиента непосредственно связан с одной станцией в его или ее области. Инженеры RT&T разработали систему видеофона прототипа, которая позволяет двум клиентам видеть друг друга в течение телефонного разговора. Чтобы иметь приемлемое качество изображения, однако, число связей раньше передавало видео сигналы быть - подросток, которого эти две стороны не могут превысить четыре. Предположим, что сеть RT&T представлена графом. Проектируйте эффективный алгоритм, который вычисляет, для каждой станции, набора станций достижимое использование не больше, чем четыре связи.

C-13.9 Объясните, почему нет никаких передовых краев недерева относительно дерева BFS

построенный для направленного графа. C-13.10 Тур Эйлера по направленному графу G с n вершинами и m краями является a

цикл, который пересекает каждый край G точно однажды согласно его направлению. Такой тур всегда существует, если G связан, и в степени равняется-степени каждой вершины в G. Опишите O (n + m) разовый алгоритм для нахождения тура Эйлера по такому диграфу G.

13.7. Упражнения 659

C-13.11 Независимый набор ненаправленного графа G = (V, E) является подмножеством I из V

таким образом, что никакие две вершины в я смежен. Таким образом, если u и v находятся в, я, тогда (u, v) не нахожусь в E. Максимальный независимый набор M является независимым набором, таким образом, что, если бы мы должны были добавить какую-либо дополнительную вершину к M, тогда это больше не было бы независимо. У каждого графа есть максимальный независимый набор. (Вы можете видеть это? Этот вопрос не часть осуществления, но об этом стоит думать.) Дают эффективный алгоритм, который вычисляет максимальный независимый набор для графа G. Какова продолжительность этого алгоритма?

C-13.12 Позвольте G быть ненаправленным графом G с n вершинами и m краями. Описать

O (n + m) разовый алгоритм для того, чтобы пересечь каждый край G точно однажды в каждом направлении.

C-13.13 Оправдайте Суждение 13.14. C-13.14 Дайте пример n-вершины простой граф G, который вызывает Дейкстру

алгоритм, чтобы бежать вW (n2 регистрируют n), время, когда ее осуществленный с кучей. C-13.15 Дайте пример взвешенного направленного графа G с отрицательным весом

края, но никакой цикл отрицательного веса, такой, что алгоритм Дейкстры incor-rectly вычисляет расстояния кратчайшего пути от некоторой вершины начала v.

C-13.16 Рассмотрите следующую жадную стратегию нахождения кратчайшего пути от

начало вершины цели вершины в данном соединило граф.

1. Инициализируйте путь к началу.

2. Инициализируйте VisitedVertices, чтобы{начаться}.

3. Если start=goal, обратный путь и выход. Иначе, продолжить.

4. Найдите край (начало, v) минимального веса таким образом, что v смежен с

начните и v не находится в VisitedVertices. 5. Добавьте v к пути. 6. Добавьте v к VisitedVertices. 7. Начало набора равняется v и идет в шаг 3.

Эта жадная стратегия всегда находит кратчайший путь от начала до цели? Или объясните интуитивно, почему это работает, или дайте встречный пример.

C-13.17 Покажите это, если все веса в связанном взвешенном графе G отличны,

тогда есть точно одно минимальное дерево охвата для G. C-13.18 Проектируйте эффективный алгоритм для нахождения самого длинного направленного пути от a

вершина s к вершине t нециклического взвешенного диграфа G. Определите используемое представление графа и любые вспомогательные используемые структуры данных. Кроме того, проанализируйте сложность времени своего алгоритма.

C-13.19 Рассмотрите диаграмму телефонной сети, которая является графом G чей

вершины представляют центры переключения и чьи края представляют communi-линии катиона, присоединяющиеся к парам центров. Края отмечены их полосой пропускания, и полоса пропускания пути - полоса пропускания своего самого низкого края полосы пропускания. Дайте алгоритм, который, учитывая диаграмму и два центра переключения a и b, производит максимальную полосу пропускания пути между a и b.

660