5.3. Структурные средние

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен ввиду нехватки данных.

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части.

Модой ( ) называется чаще всего встречающийся вариант, или модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение. Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (при определении размеров одежды и обуви, которые пользуются широким спросом); регистрации цен.

В дискретном ряду мода—это варианта с наибольшей частотой. Например, по приведенным ниже данным наибольшим спросом обуви пользуется размер 37 (табл. 19).

Таблица 19

Размер обуви	34	35	36	37	38	39	40
Число купленных пар	2	10	20	88	19	9	1

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала, т. е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала находят модальный, которым является интервал с наибольшей частотой, а затем ведут расчет по формуле:

где - нижняя граница модального интервала;

- величина интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Пример:

Имеются данные по группе банков (табл.20):

Таблица 20 Распределение банков по сумме выданных кредитов

Сумма выданных кредитов, млн.руб	Количество банков
До 40	8
40 - 60	15
60 – 80	21
80 – 100	12
100 – 120	9
120 – 140	7
140 и выше	4
Итого	76

Определим модальный размер выданных кредитов:

модальным является интервал (60–80), так как ему соответствует наибольшая частота (21);

нижняя граница модального интервала = 60; величина интервала = 20 (80–60 = 20);

частота модального интервала =21; частота интервала, предшествующего модальному =15; частота интервала, следующего за модальным =12.

Подставив в формулу соответствующие величины, получим

То есть, наиболее часто встречаются в данной совокупности банки, у которых сумма выданных кредитов составила 68 млн.руб.

Медиана ( ) — это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая — большие.

Понятие медианы легко уяснить из следующего примера. Для ранжированного ряда (т. е. построенного в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин) с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда. Например, в ранжированных данных о стаже работы семи продавцов—1, 2, 2, 3, 5, 7, 10 лет—медианой является четвертая варианта — 3 года.

Для ранжированного ряда с четным числом членов (индивидуальных величин) медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант. Если в бригаде продавцов из шести человек распределение по стажу работы было таким: 1, 3, 4, 5, 7, 9 лет, то медианой будет значение, равное: (4+5) : 2= 4,5 года,т. е.

Пример.

Имеются данные о цене антоновских яблок в шести магазинах города (табл.21):

Таблица 21

Название магазина	Цена яблок, руб.за кг
«Огонек»	40
«Маяк»	41
«Заря»	42
«Татьяна»	44
«Ночной»	44
«Любимый»	45

В середине ранжированного ряда находятся цены двух магазинов. Медиана определяется как средняя величина из этих значений признака. .

Таким образом, у 50% магазинов города яблоки продаются по цене не выше 43 руб.за кг, а в других 50% магазинов – по цене не ниже 43 руб.за кг.

Для определения медианы в дискретных вариационных рядах:

1. находят ее порядковый номер по формуле: , ( , если имеем нечетное число единиц совокупности);

2. строят ряд накопленных частот;

3. находят накопленную частоту, которая равна порядковому номеру медианы, или его превышает;

4. варианта, соответствующая данной накопленной частоте, является медианой.

Пример

Определим медианный стаж сотрудников компании на основе следующих данных (табл.22):

Таблица 22 Распределение сотрудников по стажу работы

Время работы, лет	Число сотрудников, чел,	Накопленная частота,
1	5	5
2	7	12
3	4	16
4	9	25
5	13	38
6	10	48
7	16	64
8	13	77
Итого	77	-

Номер медианы равен . Рассчитаем накопленные частоты (суммы частот по группам). Для пятой группы накопленная частота равна 38. Это значит, что 38 работников имеют стаж работы 5 лет и менее. Для шестой группы накопленная частота равна 48 (она первая превышает порядковый номер медианы), следовательно, в эту группу входят сотрудники с порядковыми номерами от 39 до 48. Стаж работы сотрудников в шестой группе – 6 лет. Значит . Итак, 50% сотрудников работают в данной компании не более 6 лет.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий:

1. располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру;

2. определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты;

3. по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

4. Найдя медианный интервал, вычисляем медиану по формуле:

где —нижняя граница медианного интервала; — величина медианного интервала; —полусумма частот ряда; — сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; — частота медианного интервала.

Пример: По данным таблицы 20 определим медианное значение суммы выданных банками кредитов, для этого приведем таблицу к виду табл.23:

Таблица 23 Распределение банков по сумме выданных кредитов

Сумма выданных кредитов, млн.руб	Количество банков,	Накопленная частота,
20 - 40	8	8
40 - 60	15	23
60 – 80	21	44
80 – 100	12	56
100 – 120	9	65
120 – 140	7	72
140 - 160	4	76
Итого	76	-

Проведем расчет:

1. определим порядковый номер медианы ;

2. определим накопленную частоту медианного интервала: , ;

3. определим соответствующий ей медианный интервал «60 – 80»;

4. рассчитаем значение медианы по формуле млн.руб., то есть у 50% банков сумма выданных кредитов не превышает 74,286 млн.руб.

Помимо медианы, которая делит вариационный ряд на две равные части, встречаются квартили, которые делят вариационный ряд на четыре равные части, квинтили – делят ряд на пять равных частей, децили – делят ряд на десять равных частей, перцентили – делят ряд на сто равных частей и т.д. Их определяют аналогично.