Решение типового варианта

Таблица 8

№	Валовой доход за год Y (млн.руб.)	Основные средства X1 (млн.руб.)	Оборотные средства X2(млн.руб.)
1	203	118	105
2	63	28	56
3	45	17	54
4	113	50	63
5	121	56	28
6	88	102	50
7	110	116	54
8	56	124	42
9	80	114	36
10	237	154	106
11	160	115	88
12	75	98	46

В экономике часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной Y от нескольких объясняющих переменных X_1, X₂, X₃,…, X_p . Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа. Уравнение множественной регрессии – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

y=f(x_1,x_2, …,x_p).

В нашей задаче рассматривается двухфакторная линейная регрессия, т. е. имеются две объясняющие независимые переменные, поэтому уравнение статистической связи между Y и X_1, X₂ можно записать в виде:

y_i =a + b₁x_i1 + b₂x_i2 + ε_i , i = 1,…,12,

где y_i - зависимая переменная (результативный признак);

x_i1 и x_i2 – независимые переменные (факторы);

b₁ и b₂ – коэффициенты связи;

ε_i –ошибка регрессии, случайная составляющая.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). При его применении строится система нормальных уравнений (для простоты записи индекс i опущен):

Ее решение может быть осуществлено методом определителей:

Cоставляем вспомогательную таблицу:

Таблица 9

i	yi	xi1	xi2	xi1 xi2	xi12	xi22	y xi1	y xi2
1	203	118	105	12390	13924	11025	23954	21315
2	63	28	56	1568	784	3136	1764	3528
3	45	17	54	918	289	2916	765	2430
4	113	50	63	3150	2500	3969	5650	7119
5	121	56	28	1568	3136	784	6776	3388
6	88	102	50	5100	10404	2500	8976	4400
7	110	116	54	6264	13456	2916	12760	5940
8	56	124	42	5208	15376	1764	6944	2352
9	80	114	36	4104	12996	1296	9120	2880
10	237	154	106	16324	23716	11236	36498	25122
11	160	115	88	10120	13225	7744	18400	14080
12	75	98	46	4508	9604	2116	7350	3450
∑	1351	1092	728	71222	119410	51402	138957	96004
ср.зн	112,58	91	60,67	5935,2	9950,8	4283,5	11579,75	8000,33
с.к.о.	61,44	44,7	26,46	-	-	-	-	-

Решая систему, получим: a = -24,02; b₁ = 0,383; b₂ = 1,677. Уравнение множественной регрессии примет вид:

y =-24,02+0,383x₁ +1,677x₂ (2)

2) Если факторные признаки различны по своей сущности и имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии b_j уравнения (2) являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют показателем тесноты связи - средним частным коэффициентом эластичности .

Средние частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов от значения своей средней изменяется результат при изменении фактора x_j на 1% от своей средней и при фиксированном воздействии на y всех прочих факторов, включенных в уравнение регрессии. Для линейной зависимости:

где b_j – коэффициент регрессии при x_j в уравнении множественной регрессии.

Здесь:

т.е. с увеличением основных фондов на 1% величина валового дохода в среднем по торговым предприятиям возрастет на 0,3096% при неизменной величине оборотных средств; с увеличением же оборотных средств на 1% - на 0,9037% при неизменной величине основных фондов.

По значениям частных коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на результат Y признака фактора X₂ , чем признака фактора X₁: 0,9037% против 0,3096%.

3) Для линейной множественной регрессии существует еще один способ оценки параметров – через β – коэффициенты, которые называют стандартизованными коэффициентами регрессии, вычисляемые по формуле:

Так как β₂ > β₁, то фактор X₂-оборотные средства сильнее влияет на результативный признак Y-валовой доход, чем фактор X₁-оборотные средства.

4) Частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов; целесообразность включения того или иного фактора в модель определяется величиной показателя частной корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Для расчета частных коэффициентов корреляции двухфакторной модели регрессии r_yx1/x2, r_yx2/x1, r_x1x2/y могут быть использованы парные коэффициенты корреляции r_yx1, r_yx2, r_x1x2:

Аналогично рассчитываются парные коэффициенты r_{yx2 ,} r_x1·x2 :

r_yx2 = 0,8328; r_x1·x2 =0,413.

Частные коэффициенты корреляции r_yx1/x2, r_yx2/x1, r_x1x2/y вычисляются по следующим формулам:

(фактор x₂ фиксирован);

(фактор x₁ фиксирован).

Можно рассчитать также коэффициент частной корреляции, измеряющий тесноту связи между x₁ и x₂ при фиксации признака результата y:

Полученные частные коэффициенты корреляции изменяются от –1 до +1. Чем ближе к единице модуль частного коэффициента корреляции, тем теснее связь фактора с результатом при устранении влияния прочих факторов, включенных в модель регрессии. Сравнивая полученные результаты, видим, что более сильное воздействие на валовой доход (Y) оказывает фактор X₂ –оборотные средства, чем фактор X₁ –основные фонды (0,7984 против 0,4503)

Частные коэффициенты корреляции используют чаще всего для отсева факторов. При малых r_yx1/x2, r_yx2/x1, r_x1x2/y нет смысла вводить в уравнение соответствующий фактор, т.к. качество уравнения регрессии при его введении возрастет незначительно.

Рассчитаем множественный коэффициент корреляции по формуле:

5) Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки основной гипотезы H₀: R_yx1x2= 0 при альтернативной H₁: R_yx1x2≠ 0.

Для проверки основной гипотезы используют общий F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F- статистики критерия через коэффициент детерминации R_yx1x2²= (R_yx1x2)²= 0,8693²= 0,7557 с учетом изменения числа степеней свободы:

где n - число наблюдений;

h - число оцениваемых параметров(в случае двухфакторной линейной регрессии h =3);

В нашем случае:

По таблицам распределения Фишера – Снедекора находят критическое значение F- статистики - F_кр. Для определения F_кр при уровне значимости α = 0,05 и двумя числами степеней свободы k₁ = h – 1 = 2 и k₂ = n – h =12 – 3 = 8. Для нашего варианта F_кр = 4,46 (из таблицы на стр. 24).

Сравнивая F_набл с F_кр, получим F_набл =13,91 > F_кр = 4,46. Если F_набл > F_кр, то основную гипотезу H₀: R_yx1x2= 0 отвергают и принимают альтернативную гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии H₁: R_yx1x2≠ 0

Таблица 10

Значения t_γ,к - критерия Стьюдента.

Число степеней свободы	Вероятность γ
к	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞	0,16 0,14 0,14 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13	0,32 0,29 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,25 0,25 0,25 0,25	0,51 0,44 0,42 0,41 0,41 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,38	0,73 0,62 0,58 0,57 0,56 0,55 0,55 0,55 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,52	1,00 0,82 0,76 0,74 0,73 0,72 0,71 0,70 0,70 0,70 0,70 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,67	1,38 1,06 0,98 0,94 0,92 0,91 0,90 0,89 0,88 0,88 0,88 0,87 0,87 0,87 0,87 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,84 0,84	1,96 1,34 1,25 1,19 1,16 1,13 1,12 1,11 1,10 1,09 1,09 1,08 1,08 1,08 1,07 1,07 1,07 1,07 1,07 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,05 1,05 1,05 1,05 1,04 1,04	3,08 1,89 1,64 1,53 1,48 1,44 1,41 1,40 1,38 1,37 1,36 1,36 1,35 1,34 1,34 1,34 1,33 1,33 1,33 1,32 1,32 1,32 1,32 1,32 1,32 1,31 1,31 1,31 1,31 1,31 1,30 1,30 1,29 1,28	6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,70 1,68 1,67 1,66 1,64	12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,04 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96	31,82 6,96 4,54 3,75 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2,49 2,48 2,48 2,47 2,47 2,46 2,46 2,42 2,39 2,36 2,33	63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,35 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,84 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58

Таблица 11

Таблица значений F критерия Фишера при уровне значимости  = 0,05

	1	2	3	4	5	6	8	12	24	
1	161,45	199,50	215,72	224.57	230,17	233.97	238,89	243,91	249,04	254,32
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
3	10,13	9,55	9.28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
6	5.99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
8	5.32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
9	5,12	4,26	3.86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3.09	2,95	2.79	2,61	2,40
12	4.75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
13	4,67	3,80	3.41	3.18	3,02	2.92	2,77	2,60	2,42	2,21
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2.48	2,29	2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2.34	2,15	1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1.88
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
21	4,32	3.47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1.81
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2.40	2,23	2,03	1,78
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
25	4.24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1.69
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2.29	2.12	1.91	.65
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1.64
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1.62
35	4.12	3,26	2.87	2,64	2,48	2.37	2,22	2.04	1.83	1,57
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1.79	1,67
45	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2.13	1,95	1,74	1,44
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1.70	1,39
70	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2.06	1,88	1,65	1,31
90	3,95	3,10	2,71	2,47	2,32	2,20	2.04	1,86	1,64	1.28
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,85	1.63	1,26
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1.60	1,21
150	3,90	3,06	2,66	2,43	2.27	2,16	2,00	1,82	1,59	1.18
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2.14	1,98	1.80	1,57	1.14
300	3,87	3,03	2,64	2,41	2.25	2,13	1.97	1,79	1,55	1,10
400	3.86	3,02	2,63	2,40	2.24	2.12	1,96	1,78	1.54	1,07
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1.96	1.77	1.54	1.06
1000	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2.10	1,95	1.76	1.53	1,03
	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52	1,00

21