Решение типового варианта

При изучении зависимости издержек обращения Y (млн. руб.) от объема товарооборота X (млн. руб.) по 10 фирмам получены следующие данные (таблица 2).

Таблица 2

Фирмы	Объем товарооборота X, млн. руб.		Издержки обращения Y, млн.руб.
1	60		2,9
2	90		7,1
3	150		11,8
4	80		6,3
5	110		7,2
6	120		8,4
7	70		4,8
8	130		11,20
9		100		6,7
10		140		10,6
		V		50

1) Считая, что между признаками Y и X имеет место линейная корреляционная связь, определить уравнение парной линейной регрессии.

Парная регрессия представляет собой зависимость между двумя переменными – x и y, т.е. модель вида: y = f(x), которую будем называть «истинным» уравнением регрессии. Необходимо по данным наблюдениям (y_i,x_i), i=1,…,n подобрать функцию , «наилучшим» образом описывающую «истинную» зависимость где у- зависимая переменная (результативный признак); x- независимая, или объясняющая переменная (признак - фактор). Подобрать функцию – значит определить вид функциональной зависимости и значения параметров.

Наиболее часто используется линейная форма зависимости. Модель линейной парной регрессии сводится к нахождению уравнения вида: , (1)

где и -оценки параметров a и b. Это уравнение позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака y, подставляя в него фактические значения фактора x.

Построение линейной регрессии сводится к нахождению оценок ее параметров – a и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены различными методами.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК), позволяющий получить такие оценки a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических) ŷ, минимальна.

Значения y_i и x_i нам известны, это данные наблюдений. Используя необходимое условие существования экстремума функции R(a,b), получим следующую систему линейных уравнений относительно и :

здесь индексы суммирования у переменных и знака суммы опущены.

По исходным данным рассчитаем и внесем в таблицу 3:

Таблица 3

№	X	Y	XY	X2	Y2
1	60	2,9	174	3600	8,41
2	90	7,1	639	8100	50,41
3	150	11,8	1770	22500	139,24
4	80	6,3	504	6400	39,69
5	110	7,2	792	12100	51,84
6	120	8,4	1008	14400	70,56
7	70	4,8	336	4900	23,04
8	130	11,2	1456	16900	125,44
9	100	6,7	670	10000	44,89
10	140	10,6	1484	19600	112,36
Итого:	1050	77	8833	118500	665,88
Средние значения	105	7,7	883,3	11850	66,588
Среднее квадратическое отклонение	28,72	2,7	-	-	-

Подставим расчетные данные в систему линейных уравнений:

Решая систему уравнений либо методом определителей (метод Крамера), либо методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса), найдем искомые параметры и . В нашем случае: = -1,82 и = 0,0907.

Получим уравнение линейной регрессии:

ŷ = - 1,82 + 0,0907·x. (2)

Величина параметра показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу, т.е. при изменении объема товарооборота на 1 млн. рублей величина издержек обращения в среднем увеличивается на 0,0907 млн.руб.:

ŷ = - 1,82 + 0,0907·(x+1) = -1,82+0,0907·x+0,0907.

2) При изучении статистической зависимости двух случайных величин X и Y наглядную картину их взаимосвязи дает изображение точек выборки (x₁,y₁), (x₂,y₂),…, (x_n,y_n) на корреляционной плоскости. Это изображение называется корреляционным полем (диаграммой рассеивания). Построим диаграмму рассеивания и линию линейной регрессии (линию тренда):

3) Используя полученное уравнение регрессии, ожидаемая величина издержек обращения при объеме товарооборота V = 50 млн. рублей составит:

ŷ = –1,82+0,0907·50 =2,715 (млн. руб.)

4) Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. Мерой статистической связи двух случайных величин является коэффициент парной корреляции r_xy = , где σ_x ,σ_y - средние квадратические отклонения.

Существуют различные формулы для линейного коэффициента парной корреляции.

Рассчитаем выборочный линейный коэффициент парной корреляции r_xy по формуле:

.

Коэффициент парной корреляции отражает взаимосвязь случайных величин и не зависит от того, какая из величин X или Y является причиной, а какая следствием.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах:

-1≤ r_xy ≤1. Знак r_xy характеризует направление, а абсолютная величина r_xy- характер тесноты связи. Для качественной оценки тесноты корреляционной связи между X и Y можно воспользоваться таблицей Чеддока (таблица 4):