Перестановки.

Содержание задачи о числе перестановок сводится к следующему: сколькими разными способами можно переставить n различных предметов?

! В данном случае важно взаимное расположение предметов !

Пример 4. Сколькими различными способами можно переставить 3 монеты в 1, 2 и 3 копейки?

Решение: {1,2,3},{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2},{3,2,1}=6 способов.

В общем случае число всех возможных перестановок из n предметов обозначается Р(n) и определяется формулой Р(n) = n!

Доказательство: Пусть есть множество из n предметов. На первое место можно поставить любой из n предметов. После того, как заполнено первое место, на второе можно поставить любой из (n-1) оставшихся предметов и т.д. По правилу умножения получим: n*(n-1)*(n-2)….2*1=n!, что и требовалось доказать.

Подстановки.

Рассмотрим множества А и В, каждое из n элементов. Подстановкой множества А в множество В называется взаимнооднозначное отображение множества А в множество В.

Если мощности А и В равны и |A|=|B|=n, то число всех возможных подстановок множества А в множество В оценивается формулой Р(n) = n!

Очевидно, что перестановки n различных предметов, расположенных на n различных местах есть подстановки множества из n различных предметов в множество из n различных мест!

П ример 5*. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?

Решение:

Введем 2 множества: А = {a,b,c,d,e,f,g,h} – множество вертикалей и

В = {1,2,3,4,5,6,7,8} – множество горизонталей.

Так как всего ладей 8, то каждая вертикаль должна быть занята одной ладьей. Две ладьи на одной вертикали, равно как и горизонтали, не допускаются по условию задачи.

Иначе, каждая ладья имеет свою вертикаль и свою горизонталь, т.е. каждой вертикали соответствует своя горизонталь! Для решения необходимо произвести подстановку множества В в множество А. Число таких подстановок n!=8! Значит число всех возможных расстановок 8!

Пример 6. Сколько способов есть разложить 10 писем по десяти разным конвертам? Ответ: 10!

Размещения.

Суть задачи о размещениях: сколько есть способов для размещения по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 6. Сколькими способами можно разместить по двум местам 1 и 2 две из трех монет в 1, 2 и 3 копейки? Взаимное расположение важно!

№ мест	1и2	1и2	1и2	1и2	1и2	1и2
монеты	1,2	1,3	2,3	2,1	3,1	3,2

Ответ: 6 способов.

Общая формула:

Иначе можно записать:

Доказательство: Число подмножеств из m элементов каждое, которые выбираются из n элементов, равно . Так как в определении понятия размещения играет роль место, на котором находится элемент, то каждое подмножество из m элементов можно расставить m! способами, следовательно, число всех размещений:

Пример 7. Сколькими способами можно выбрать и разместить в ряд на книжной полке 3 из 5 различных книг?

Пример 8. Сколькими различными способами можно обозначить треугольник, отмечая его вершины различными буквами (большими) латинского алфавита (букв 26 штук)?

Пример 9*. Сколько существует телефонных номеров из 5 цифр (цифры в номере не повторяются)?