Применение формулы полной вероятности при расчете надежности систем

В качестве примера применения формулы полной вероятности рассмотрим расчет надежности системы.

Пример 1

Надежность задана таблицей:

элемент	K1	K2	K3	K4
p	0,2	0,8	0,9	0,7

Рассчитать надежность системы, применения формулы полной вероятности. Решение

Событие А={система надежна}

Рассмотрим группу элементов 1 и 3.

Гипотеза H₁={K1 и K3 работают}

Гипотеза H₂={K1 не работает и K3 работает}

Гипотеза H₃={K1 работает и K3 не работает}

Гипотеза H₄={K1 и K3 не работают}

– обратная вероятность.

элемент	K1	K2	K3	K4
p	0,2	0,8	0,9	0,7
q	0,8	0,2	0,1	0,3

Составим таблицу (знаком 1 обозначено, что элемент работает, 0 – не работает).

Таблица 1

Гипотеза	Состояние элемента		Вероятность гипотезы P(Hi)		Условная вероятность безотказной работы P(Hi/A)		P(Hi)∙ P(Hi/A)
	K1	K3
H1	1	1		0,18	1	1	0,18
H2	0	1		0,72		0,8	0,576
H3	1	0		0,02		0,7	0,014
H4	0	0		0,08		0,56	0,0448
P(A)							0,8148

Пример 2

Надежность задана таблицей:

элемент	K1	K2	K3
p	0,2	0,8	0,9

Рассчитать надежность системы, применения формулы полной вероятности. Решение

Событие А={система надежна}

Рассмотрим группу элементов 1 и 3.

Гипотеза H₁={K1 и K3 работают}

Гипотеза H₂={K1 не работает и K3 работает}

Гипотеза H₃={K1 работает и K3 не работает}

Гипотеза H₄={K1 и K3 не работают}

Составим таблицу (знаком 1 обозначено, что элемент работает, 0 – не работает).

элемент	K1	K2	K3
p	0,2	0,8	0,9
q	0,8	0,2	0,1

– обратная вероятность.

Таблица 2

Гипотеза	Состояние элемента		Вероятность гипотезы P(Hi)		Условная вероятность безотказной работы P(Hi/A)
	K1	K3
H1	1	1		0,18	1	1
H2	0	1		0,72		0,8
H3	1	0		0,02	0	0
H4	0	0		0,08	0	0

Гипотеза	Состояние элемента		Вероятность гипотезы P(Hi)		Условная вероятность безотказной работы P(Hi/A)		P(Hi)∙ P(Hi/A)
	K1	K3
H1	1	1		0,18	1	1	0,18
H2	0	1		0,72		0,8	0,576
H3	1	0		0,02	0	0	0
H4	0	0		0,08	0	0	0
P(A)							0,756