Кривая качества
Важно понимать, что в любой задаче есть принципиальные (фундаментальные) ограничения, которые определяются особенностями системы и не могут быть преодолены никаким регулятором. Например, ясно, что задачу «обеспечить рыскание судна не более 1 при волнении 8 баллов» в реальной ситуации решить нельзя.
Пусть известны все характеристики системы и возмущений. За счет чего можно уменьшить ошибку стабилизации? Как правило, только за счет увеличения мощности управления, которая ограничена1. Поэтому для уменьшения ошибки нужно увеличивать управляющий сигнал.
С другой стороны, активность руля тоже нужно всячески уменьшать, потому что механические части быстро изнашиваются и приходят в негодность. Кроме того, на управление затрачивается дополнительная энергия.
Таким образом, мы пришли к задаче многоцелевой оптимизации – хочется одновременно обеспечить минимум ошибки и минимум мощности управления. Как мы видели, эти две цели противоречивы. В таком случае чаще всего составляется единый критерий качества, который включает все величины, которые нужно минимизировать, с различными весовыми коэффициентами. Например, в задаче стабилизации судна при случайных возмущениях он выглядит так:
.
(7)
Здесь
и
– дисперсии ошибки и сигнала управления,
а
– неотрицательный весовой коэффициент.
П
редположим,
что мы нашли оптимальный регулятор
,
который минимизирует этот критерий при
некотором фиксированном коэффициенте
.
Можно ли выбором какого-то другого
регулятора
одновременно уменьшить и дисперсию
ошибки
,
и дисперсию управления
?
Если предположить, что можно, получается,
что регулятор
дает меньшее значение критерия качества
(при том же
),
чем
,
то есть,
– это не оптимальный регулятор и
мы пришли к противоречию. Таким образом,
для полученной оптимальной системы
нельзя одновременно уменьшить и
дисперсию ошибки
,
и дисперсию управления
.
Такие регуляторы называются
Парето-оптимальными2.
Для каждого коэффициента
будут свои значения
и
,
так что можно построить график зависимости
от
в оптимальных системах. Отметим, что
чаще всего удобнее вместо дисперсий
использовать соответствующие
среднеквадратические отклонения –
и
.
Этот график показывает, какая мощность
управления требуется, чтобы обеспечить
заданную точность стабилизации. И
наоборот, по графику можно определить,
какую точность можно обеспечить, имея
заданную мощность управления. В этом
смысле можно называть эту кривую кривой
качества системы.
Каждая точка этой кривой соответствует какому-то Парето-оптимальному регулятору. Поскольку для таких регуляторов нельзя одновременно уменьшить оба показателя качества, выпуклость кривой всегда направлена в сторону начала координат. Серая область недостижима, то есть, ни один регулятор в такой системе не может обеспечить соответствующее качество.
1 Например, угол перекладки руля судна чаще всего не может быть более 30-35 (при больших углах руль становится неэффективен).
2 В честь итальянского экономиста В. Парето, который сформулировал этот принцип.