Распределение работников предприятия по продолжительности стажа работы

Группы работников по продолжительности стажа работы, лет	Число работников, чел.
До 2	4
2-4	23
4-6	20
6-8	35
8-10	11
Свыше 10	7

Решение. Медианным интервалом величины стажа слесарей будет интервал от 6 до 8 лет, так как этот интервал имеет накопленную частоту (52 = 4 + 23 + 27 + 35), которая больше половины всей суммы частот ряда (50 = 100 : 2).

Тогда медиана продолжительности стажа работы составит:

года

Полученный результат говорит о том, что из 100 работников 50 работников имеют стаж менее 7,71 года, а 50 работников – более 7,71 года.

Медиана находит практическое применение вследствие особого свойства – сумма абсолютных отклонений членов ряда от медианы есть величина наименьшая = min.

№ п/п	Расположение хозяйств от железнодорожной станции, км (х)	Отклонения от среднего значения ( )	Отклонения от медианного значения (х - Ме)
1	2	3	2
2	3	2	1
3	4	1	0
4	6	1	2
5	10	5	6
Итого	25	13	11

= 25 / 5 = 5 км; Ме = 4 км

Вышеназванное свойство медианы широко применяется в практике в маркетинговой деятельности.

Величины, приходящиеся на одной четверти и на трех четвертях расстояния от начала ряда, называются квартилями, на одной десятой – децилями, на одной сотой – процентилями.

При статистическом изучении совокупности правильно выбранная средняя обладает следующими свойствами: если в индивидуальном признаке явления есть какая-либо типичность, то средняя ее обнаруживает, при этом она учитывает и влияние крайних значений.

Если , Me, Mo совпадают, то данная группа симметрична. Но Me < при немногочисленной группе с очень высокими числами и < Me, если нет очень больших чисел и данные концентрируются.

Если совокупность неоднородна, то мода трудно определяется. Мо < , если имеется немногочисленная группа с высокими числами и Мо отчетливо выражена при однородности группы.

-3-

Различия индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности называются вариацией признака. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

При характеристике колеблемости признака применяют систему абсолютных и относительных показателей.

К абсолютным показателям вариации относятся:

1. размах вариации R;

2. среднее линейное отклонение d;

3. дисперсия σ²;

4. среднее квадратическое отклонение .

Эти показатели (кроме дисперсии) измеряются в тех же единицах, что и сам признак: в тоннах, метрах, секундах, рублях.

К относительным показателям вариации относятся:

1. коэффициент осцилляции;

2. линейный коэффициент вариации;

3. простой коэффициент вариации.

Эти показатели выражаются в процентах или относительных величинах.

Размах вариации  наиболее простой измеритель вариации и представляет собой разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

R = x_max - x_min

где х_max  наибольшее значение признака; x_min  минимальное значение признака.

Величина R показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения. С его помощью определяют допустимые размеры колебаний, сравнивают их с установленными.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их средней. Так как алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю (второе свойство средней арифметической), при исчислении среднего линейного отклонения принимаются во внимание только абсолютные значения отклонений без учета знаков («+» или «-»). Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

или средней арифметической взвешенной:

Дисперсией называется средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия равна:

При равенстве весов или когда они равны 1,

Свойства дисперсии:

1) если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;

2) если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число (i) раз, то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в i² раз.

Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

где i  величина интервала;  новые (преобразованные) значения вариант (А – условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой);

 момент второго порядка;

 квадрат момента первого порядка.

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике играет важную роль для характеристики качества статистических оценок.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней, то есть из дисперсии:

а при равенстве весов или когда они равны 1,

Исчисление дисперсии и среднего квадратического отклонения позволяет устранить недостаток среднего линейного отклонения. Ведь любое число, положительное или отрицательное, возведенное в квадрат, будет числом положительным.

Среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дают представление об абсолютной величине колеблемости.

Для сравнения колебаний разнородных явлений, разных по своему характеру и размерам признаков, используется относительный показатель вариации, так называемый коэффициент вариации.

Коэффициент вариации (V) представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической и рассчитывается по формуле:

Выражая коэффициент вариации в процентах, различные аб­солютные среднеквадратические отклонения приводят к одному основанию и дают возможность сравнивать, оценивать колеблемость величин различных признаков.

При помощи коэффициента вариации возможно, например, сравнение размера колеблемости производительности труда групп рабочих, занятых производством различных видов продукции, размера колеблемости урожаев различных сельскохозяйственных культур и т.д. Чем больше его величина, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя. Коэффициент вариации важен и в тех случаях, когда нужно сравнивать средние квадратические отклонения, выраженные в разных единицах измерения.

Если взять отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической в процентах, то получим линейный коэффициент вариации:

Отношение размаха вариации к средней арифметической в процентах называется коэффициентом осцилляции:

Самый распространенный относительный показатель колеблемости — коэффициент вариации.

Пример. Имеются выборочные данные об уровне оплаты труда работников ремонтного предприятия: