Распределение семей по количеству их членов

Количество членов семьи, чел.	Число семей
2	50
3	80
4	260
5	40
6	30
7	20
8	10
9	10

Определите моду данного вариационного ряда распределения.

Решение. Модальной величиной в данном случае будет семья, в составе которой 4 человека, так как этому значению в нашем ряду распределения соответствует наибольшее число семей (260).

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала, то есть того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

Решение вопроса состоит в том, чтобы в качестве моды выявить середину модального интервала. Такое решение будет правильным лишь в случае полной симметричности распределения либо тогда, когда интервалы, соседние с модальными, мало отличаются друг от друга по числу случаев. В противном случае середина модального интервала не может рассматриваться как мода. Конкретное значение моды для интервального ряда определяется формулой:

где x_Mo – нижняя граница модального интервала;

i_Mo – велиина модального интервала;

f_Mo – частота, соответствующая модальному интервалу;

f_Mo-1 – частота, предшествующая модальному интервалу;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего замодальным.

Эта формула основана на предположении, что расстояния от нижней границы модального интервала до моды и от моды до верхней границы модального интервала прямо пропорциональны разностям между численностями модального интервала и прилегающих к нему.

Пример. Определить моду продолжительности стажа работы работников предприятия, используя данные таблицы

Распределение работников предприятия по продолжительности стажа работы

Группы работников по продолжительности стажа работы, лет	Число работников, чел.
До 2	4
2-4	23
4-6	20
6-8	35
8-10	11
Свыше 10	7

Решение. Модальным интервалом величины стажа работников предприятия будет интервал от 6 до 8 лет, так как этот интервал имеет наибольшую частоту (35 человек).

Тогда мода продолжительности стажа работы работников торгового предприятия составит:

Мо = года

Мода всегда бывает несколько неопределенной, так как она зависит от величины групп, от точного положения границ групп.

Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (при определении размера одежды и обуви, которые пользуются широким спросом), регистрации цен.

Медианой (Me), или серединным вариантом, в статистике называют значение варьирующего признака, который находится в середине ряда значений, расположенных в порядке возрастания или убывания.

Для дискретного ранжированного ряда (то есть построенного в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин) с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда.

Пример. Процент выполнения плана производства за месяц 13 предприятий составил (%): 95; 98; 101; 104; 109; 115; 119; 126; 135; 144; 176; 202; 223. Определить медиану.

Решение. Медианой здесь будет 7-я варианта, которая делит упорядоченный ряд пополам и соответствует 119% выполнения плана товарооборота.

Для дискретного ранжированного ряда с четным числом членов медианой будет варианта, рассчитанная из двух смежных центральных вариант.

Пример. Пусть мы имеем следующие сведения о стаже работы шести слесарей ремонтной мастерской: 1, 3, 4, 5, 7, 9 лет. Необходимо определить медиану стажа работы слесарей.

Решение. Данный ряд является дискретным ранжированным рядом с четным числом членов (6слесарей). В этом ряду медиана будет рассчитываться как средняя арифметическая простая из двух смежных центральных вариант, которыми являются стаж работы 4 года и 5 лет. Тогда медиана для данного ряда будет равна (4 + 5) : 2 = 4,5 года, то есть:

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности. Если предполагать, что внутри медианного интервала нарастание или убывание изучаемого признака происходит по прямой равномерно, то формула медианы в интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид:

где x_Me – нижняя граница медианного интервала;

i_Me – величина медианного интервала;

– полусумма частот ряда;

S_Me-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_Me – частота медианного интервала.

Медиана ряда наблюдений может быть очень далека от его типичной величины и в действительности может не приближаться ни к одному из наблюдаемых объектов. Но поскольку медиана является серединным (центральным) значением, это делает ее смысл вполне ясным. Медиана по своему положению более определенна, чем мода.

Пример. По данным необходимо рассчитать медиану.