5.5. Внезапное кз двухобмоточного трансформатора

Если КЗ вторичной обмотки произошло при работе трансформатора в режиме холостого хода, то, решая систему уравнений (5.10) относительно токов I₁(p) и I₂(p), получим следующие операторные выражения для токов КЗ:

(5.20)

где Z₁(p) – полное операторное сопротивление первичной обмотки с учетом магнитосвязанной с ней короткозамкнутой вторичной;

C₂(p) – операторная проводимость вторичной обмотки.

Полное операторное сопротивление первичной обмотки:

, (5.21)

Из (5.21) следует, что влияние второго контура сказывается в снижении L₁, причем оно тем сильнее, чем сильнее магнитная связь между обмотками (больше М₁₂ и меньше рассеяние С =(L₁-M₁₂)/L₁). В пределе, при отсутствии магнитной связи, т.е. когда М₁₂=0 и С = 1, индуктивность L₁ неизменна.

Для перехода от изображений I₁(p) и I₂(p), к функциям времени в соответствии с теоремой разложения нужно найти корни уравнения Z₁(p) = 0:

(5.22)

Корни уравнения (5.21)

Оба корня уравнения (5.22) являются действительными и отрицательными.

Если напряжение, приложенное к первичной обмотке, изменяется по синусоидальному закону:

то в соответствии с теоремой разложения:

(5.23)

Первое слагаемое в (5.23) представляет принужденную (периодическую) составляющую тока в первом контуре.

Свободный ток в первом контуре состоит из двух свободных (апериодических) составляющих, одна из которых затухает по экспоненте с постоянной времени:

а другая - с постоянной времени:

Как видно, Т' всегда больше Т", причем различие между ними возрастает с уменьшением рассеяния.

Учитывая идентичность решения, переход к временной функции для тока I₂(p) выполнять не будем. Отметим лишь, что вторичный ток также содержит вынужденную, периодическую составляющую и две свободных (апериодических), затухающих с теми же постоянными времени Т' и Т".

Из выражения (5.23) видно, что величина апериодических составляющих тока внезапного КЗ зависит от значения фазного угла  напряжения, т.е. от момента КЗ трансформатора. Возникновение апериодической составляющей тока внезапного КЗ отвечает закону электромагнитной инерции, согласно которому всякий короткозамкнутый контур стремиться сохранить свое потокосцепление постоянным.

В самом неблагоприятном случае КЗ (замыкание при а=0) наибольшее значение тока (ударный ток) может достигать удвоенной амплитуды периодической составляющей тока КЗ:

5.6 Ток включения трансформатора

Операторный и классический методы решения задач широко применяются во всех случаях, когда системы дифференциальных уравнений переходных процессов являются линейными. Если же хотя бы одно уравнение нелинейно, то такая система уравнений решения в общем виде не имеет. Нелинейные системы дифференциальных уравнений решаются численными методами. В ряде случаев решения нелинейных дифференциальных уравнений можно существенно упростить, применяя графоаналитические методы. В качестве примера такого случая рассмотрим переходный процесс при включении в сеть ненагруженного трансформатора.

При включении первичной обмотки трансформатора на напряжение при разомкнутой вторичной обмотке переходный процесс описывается дифференциальным уравнением

(5.24)

При ненасыщенной магнитной цепи коэффициент L₁ – постоянная величина и решение уравнения (5.24) имеет вид:

(5.25)

где i₁₀ – амплитуда установившегося тока холостого хода трансформатора;

Т₁ – постоянная времени первичной обмотки трансформатора (при ненасыщенной магнитной цепи);

α – угол включения;

φ₁ – фазный угол тока.

Постоянная времени , фазный угол тока первичной обмотки

(5.26)

Величина тока первичной обмотки трансформатора при расчете по выражению (5.25) может достичь удвоенного значения установившегося тока холостого хода трансформатора, если включение трансформатора в сеть произошло в момент, когда напряжение сети равнялось нулю (α=0).

Однако из практики известно, что ток включения трансформатора может в сотни раз превышать величину установившегося тока холостого хода. Объясняется это влиянием насыщения магнитной цепи. С изменением насыщения магнитной цепи индуктивность обмотки трансформатора не остается постоянной и коэффициент L₁ является нелинейной функцией тока. Поэтому с учетом насыщения магнитной цепи уравнение (5.24) становится нелинейным и решения относительно тока в общем виде не имеет. Однако полное потокосцепление первичной обмотки Ψ₁₁ является величиной, линейно связанной с напряжением U₁. Поэтому кривую тока i₁ с учетом влияния насыщения магнитной цепи можно построить графо-аналитическим методом, используя кривую намагничивания сердечника трансформатора и разрешая уравнение (5.24) относительно потокосцепления Ψ₁₁.

Учитывая, что при разомкнутой вторичной обмотке потокосцепление Ψ₁₁=L₁ i₁ подставляем в уравнение (5.24), тогда:

(5.27)

Отношение изменяется при нарастании тока включения от нуля до максимума в довольно широких пределах.

Возможны различные допущения, линеаризующие уравнения (5.25).

Например, допускают, что величина L₁ остается постоянной, равной среднему значению индуктивности на интервале изменения тока или своему минимальному насыщенному значению. В последнем случае правильно определяется амплитуда тока включения, однако для остальных моментов времени значения тока получаются несколько завышенными. Насыщенное значение индуктивности первичной обмотки трансформатора можно выразить через ее ненасыщенное значение, исходя из следующего равенства:

(5.28)

Принимая Т₁ величиной постоянной и заменяя потокосцепление ψ₁₁ через поток (ψ₁₁ = ω₁ Ф₁₁), получим линейное дифференциальное уравнение:

(5.29)

Решение уравнения имеет вид:

(5.30)

где а постоянная С₁ определяется из условия, что при t=0 поток в сердечнике трансформатора Ф₁₁ равен остаточному потоку Ф_ост, т.е. С₁=Ф_ост.

Таким образом,

(5.31)

где – фазный угол,

– амплитуда установившегося потока холостого хода трансформатора.

Амплитуда тока включения во много раз превышает установившееся значение тока холостого хода. Расчеты показывают, что при Ф₁₁, соответствующем индукции 1,4 Т, отношение амплитуды тока включения к установившемуся значению тока холостого хода достигает 50-80, а при больших индукциях - 100-120. Так как ток холостого хода трансформатора составляет 5-10% от номинального тока, то, очевидно, что ток включения трансформатора может превысить номинальный ток в 6-10 раз.

Свободная составляющая тока Ф₁₁ затухает во времени. Соответственно, уменьшается амплитуда тока включения. Полное затухание тока включения трансформатора средней мощности происходит за 6-8 с, а в мощных трансформаторах продолжается до 20 с.

Наиболее благоприятные условия включения имеют место в момент, когда напряжение сети достигает максимального значения. В этом случае свободная составляющая тока отсутствует и по магнитопроводу сразу потечет только установившийся поток трансформатора, а по первичной обмотке трансформатора - установившийся ток холостого хода.