§6.Орналастырулар

Алдыңғы параграфтағы 2-мысалдың бірінші шешуінде орыс алфавитінен үш әріп комбинациялары

32×31×30=29760

еді.Алфавит N әріптен тұрса, онда әрқайсысы үш әріптен тұратын комбинациялар саны

N(N-1)(N-2)

Болар еді.Ал енді 3әріп орнына әрқайсынының К әріптен тұратын комбинация құрсақ, олар

N(N-1)(N-2)…[N-(K-1)]/

Тәсілмен табылады.Бұл өрнек N элементтен әрқайсысы К-дан жасалған орналастырулар делінеді.Бұл орналастырулардың әрқайсысына N элементтің ішіне К элемент еніп, олардың айырмашылықтары не элементтеріне (мысалы, аb,ас т.т),не элементтерінің орналасу ретінде (мысалы, аb және bа,bс жіне сb т.т.)болады.Мұны А^K_N символымен белгілейік.Сонда

A^k_N=N(N-1)(N-2)…[N-(K-1)]

Өрнекті ықшамдаған қолайлы.Ол үшін (1)өрнектің алымын да бөлімін де 1,2,3…(N-k) сандарына көбейтеміз.Сонда

A^K_N , яғни

Мұнда N!факториал деп оқылады, ол 1-ден N-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісіне тең, яғни

N!=1×2×3…N,

Немесе

N!=N(N-1)(N-2)…3×2×1.

1-мысал.а,b,с,d әріптерінен екі әріптен алынған орналастырулар жасап және олардың комбинацияларын жазу керек.

Шешуі. Бір әріпті 4тәсілмен аламыз.Екінші әріпті тәсілмен аламыз.Екінші әріпті тәсілмен аламыз.Бірінші алынған әріп екінші алынған әрбір әріппен комбинация құрайды,сондықтан екі-екіден алынатын әріптер комбинациясы 4×3=12 тәсілмен жасалады,(I) формула бойынша

A²₄=4×3=12

Алынған әріптер тіркестері мынадай:

Ab ba ca da

Ac bc cd db

Ad bd cd dc

2-мысал.А,В,К,М,О,С әріптері бірдей карточкаларға жазылып, бір колодаға салынған. Оларды әбден араластырып, бір-бірден (не бірден) төрт карточка аламыз.Сонда: а)6 әріптен төрт-төрттен неше тәсілмен алуға болады,ә)алынған 4 әріпті қатарынан тізіп қойғанда «КВАС» сөзінің пайда болу ықтималдығын есептеу керек.

Шешуі.а)Колодадан алынған бірінші карточка сондағы 6карточканың бірі,яғни бірінші карточканы 6 тәсілмен алуға болады. Екі карточканы 6×5 тәсілмен алуға болады,өйткені бірінші карточка алынғаннан кейін екіншісін колодада қалған 5т карточканың ішінен алады.Оның үстіне, әрбір бірінші әріпәрбір екінші әріппен 6×5×4 тәсілмен, 4 әріптен алынатын комбинация 6×5×4×3 тәсілмен құралады. Есеп шарты бойынша N=6,K=4, ді (1) формуланы пайдалансақ,

А⁴₆=6×5×4×3=360

Немесе

Ә)Алдымен n-ді анықтайық. Берілген 6 әріптен әрқайсысы 4 әріптен тұратын комбинация А⁴₆=360 тәсілмен табылады.Мұнымыз барлық тең мүмкіндікті нәтижелер саны. Бұл нәтижелер қос-қостан үйлесімсіз және олар оқиғалардың толық тобын құрайды.Демек,n=360.Енді аталған сөздің пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m-ді табамыз.

4 әріпті тіркес ішіндегі бізге қолайлысы тек бірінші орында <<K>> әріпті,екінші орында <<B>> әріпті,үшінші орында <<A>> әріпі,ақырында,төртінші орында <<C>> әрпі тұратын <<КВАС>> сөзі болмақ.Бұл сөз тек бір-ақ рет кездеседі.Сондықтан іздеген ықтималдық мынаған тең: