§5.Комбинаторика туралы түсінік

Классикалық анықтамаға негізделген ықтималдықтарды,есептеу –А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m-ді және сынаудың барлық жағдайлар саны n-ді табуға келіп тіреледі.Ықтималдықтар теориясында m мен n мәндері,ілгеріде көрсетілгендей,оп – оңай анықтала бермейді.Бұларды табу үшін қайсы бір жиын элеменнтерін түрліше алу тәсілдерін қарастыруға тура келеді.Мысалы келтірейік.Жәшіктегі әріптер жиыны a,b,c элементтерден құралған десек,онда бұл жиыннан әріптерді:

1)бір-бірден 3 тәсілмен аламыз,олар;a,b,c:

2) екі–екіден 6 тәсілмен аламыз,олар:

Ab,ba,ca

Ac,bc,cb

3)үш-үштен 6 тәсілмен аламыз,олар:

Abc,bac,cab

Acb,bca,cba

Мұндағы алынған әріп тіркестерінің бір-бірінен айырмасы не элементтерінде,не элементтерінің орналасу ретінде болып отыр.Мұндай тіркестер - жиын элементтерінің комбинациясы болады.

Сонымен,шешуі <<нешеу>>,<<неше тәсілмен>> деген сұрауларды қажет ететін есептер комбинаторикалық есептер делінеді.Мұндай есептерді шешумен айналысатын математика саласы комбинаторика немесе комбинаторикалық математика деп аталады.

Математиканың бұл саласы соңғы жылдары жедел қарқынмен дамып келеді.Кейіңгі жылдары комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына электрондық есептегіш техниканың дамуы,шектеулі математика ролінің артуы,ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың практикалық маңызының кунннен-кунге артуы негізгі себеп болып отыр.

Комбинаторика есептерін екі әдіспен шешуге болады.Біріншісінде ,шешудің барлық мүмкін варианттарын бір-бірінен есептейді,екіншісінде-қорытылған формуланы пайдаланып шешеді.Әрине,бірінші әдіс түсінуге жеңіл болғанымен,күрделі математикалық есептерді шешуге келгенде пәрменсіз.Сондықтан,екінші әдісті ,яғни комбинаториканың қарапайым формулаларын негіздеп,оларды ықтималдықтарды есептеуге пайдаланатын боламыз.Бұл айтылғандарды мысалмен түсіндірейік.

1-мысал.Жаздыгүні автоматтан газды су ішу үшін бір тиындық немесе үш тиындық монет керек.Ал автомат-телефонды пайдалану үшін екі тиындық монет керек.10 тиыны бар адам су ішіп,автомат-телефон арқылы сөлесу үшін оны 1,2,3 тиындықтарға майдалаудың бірнеше тәсілін ойластырды.Сонымен, 10 тиынды 1,2,3 тиындықтарға неше тәсілмен майдалауға болады?

Шешуі.10 тиынды майдалаудың барлық тәсілдерін келтірейік:10 тиынды ылғи 3 тиындыққа майдалауға болмайды.Алайда 3 үш тиындық және 1 тиындыққа,2 үш тиындық және 2 екі тиындыққа т.т майдалауға болады.Бұл айтылғандар ықшам болу үшін 10 тиынды майдалаудың барлық мүмкін варианттары төмендегі 3-таблицада келтірілді.

3-табдица

Рет саны	3 тиынды монет саны	2 тиынды монет саны	1 тиынды монет саны
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	3 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0	0 2 1 0 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0	1 0 2 4 1 3 5 7 0 2 4 6 8 10

Бұл таблицада кқрсетілген майдалау тәсілі әр түрлі және бұдан басқа тәсіл жоқ.Сондықтан 10 тиынды 1,2,3 тиындықтарға 14 тәсілмен ғана майдалауға болады екен.Сөйтіп,бұл есептің шешуін табу үшін мүмкін жағдайлардың бәрін бір –бірлеп есептедік.

2-мысал.Елімізде автомашиналардың серияларын анықтау ісімен мемлекеттік автоинспекция шұғылданады.Олар екі, үш әріптен неше комбинация (қосылыс,тіркес) жасайтынын білу керек.Бұл фактіні байланыс қызметкері де ,кодалау мамандары да білуге тиісті.Сонымен, орыс алфавитіндегі 32 әріптен үш әріптен құрылатын комбинациясын (тіркес,қосылыс) неше тәсілмен жасауға болады.

Шешуі.Бұл есепті шешу әріптер жиынынан үш әріп комбинациясына қойылатын талапқа байланысты.Түсінікті болу үшін бұл әріптердің әрбіреуін формасы бірдей жеке карточкаларға жазайық.Сөйтіп,оларды топтастырайық,яғни бір колода етейік.Сонда колодадағы карточкалар жиын болады.Әріптерді колодадан екі түрлі жолмен іріктеп влуға болады.

Біріншісі (қайталанбайтын іріктеме.).Бірінші алынатын әріп колодадағы 32 әріптің бірі болпды,яғни оны 32 тәсілмен алуға болады.Ал,екінші әріп колодада қалған 31 әріптен алынады.Сонда шығатын әр түрлі екі әріпті тіркестер(комбинациялар) саны - 32×31=992 болады.Бұл екі әріпті тіркестердің әрқайсысы үшінші алынатын әріппен тіркесіп ,үш әріпті тіркес құрайды,сонда олар 32×31×30=29760 тәсілмен алынады.Бұл жағдайда әрбір үш әріпті тіркестегі әріптер түрліше болып кездеседі.

Екіншісі (қайталанатын іріктеме).Бірінші алынған әріп таңбасы белгіленген соң,ол колодаға қайыра салынады.Сонда екінші алынатын әріп те колодадағы 32 әріптің бірі болады. Олай болса ,екі әріпті тіркестерді

32×32=32²=1024

Тәсілмен алуға болады .Осы сияқты үш әріпті тіркес 32×32×32=32²×32=32768

Тәсілмен жасалады.Бұл жағдайда үш әріпті тіркестердің жасалуына ешқандай шек қойылмайды ,яғни мұнда әрбір әріп бір тіркестің ішінде екі,үш рет қайталанып келуі мүмкін.

Сонымен,32 әріптен үш –үштен алу іріктеме (выборка) болып табылады.Бірінші жолы колодадан қай әріп алынатыны белгіленгеннен кейін,колодаға ол қайта салынған жоқ.Сондықтан мұндай іріктемені қайталанбайтын іріктеме деп атаймыз. k=3 саны іріктеме көлемі болады.

Екінші жолы колодадан алынған әріп белгілеп алынғаннан кейін,ол қайтадан колодаға салынады.Сонда екінші әріп колодадаға 32 әріптің ішінен алынады.Үшінші әріпті алғанда да өзгермейді.Сондықьан бұлайша іріктеуді қайталанатын іріктеме деп атайды.Мұнда да іріктеме көлемі k=3.Ал,элементтері алынып отырған жиын ,яғни 32 әріп жиыны,бас жиын болады.Әдетте ,бас жиындағы әріптер сол жиын элементтері болады.

Бұл мысалдардың екеуінде де комбинация санын анықтағанда көбейту амалын пайдаландық.Енді көбейтудің мынадай ережесін байқау қиын емес.

Көбейту ережесі. Егер A жиыны a₁,a₂,…a_m,яғни m элементтен ,ал B жиыны b₁,b₂,…b_k ,яғни к элементтен құралатын болса (бұл екі жиын бір жиыннан алынуы да мүмкін ),онда әрқайсысынан бір-бір элементтен алынған әр түрлі (a_i,b_j) комбинация саны m×k болады (i=1,2,…m: j=1,2,…,k).

Шынында,бұларды (а_i,b_j) түрінде m горизонталь және k вертикаль жолдардан тұратын мына таблицаға орналастыруға болады:

4-таблица

В А	b1	b2	…	bk
a1 a2 … … am	(a1,b1) (a2,b1) … … (am,b1)	(a1,b2) (a1,b2) … … (am,b2)	… … … … …	(a1,bk) (a2,bk) … … (am,bk)

Бұл таблицадағы әрбір (a_i,b_j) тек бір реттен ғана кездеседі.Олардың (ұялардың) барлық саны -m×k.Бұл ереже жиын саны екіден артық болғанда да орындалады .Мысалы,элементтер саны сәйкес m,k,h сандарына тең болатын A{a₁,a₂,…,a_m},B{b₁,b₂,…,b_k},C{c₁,c₂,…,c_h} үш жиын берілсін .Әр жиынннан тек бір элементтен ғана алынған әр түрлі (a_i,b_j,c_h) үш элемент комбинациясын жасауға болады,мұндағы i=1,2,…,m, j=1,2,…,k және l=1,2,…,h .Олардың саны -m×k×h өйткені A және B жиындарынан алынған әрбір (a_i,b_j) пары үшініші жиынның әрбір элементімен комбинацияланады.Бұл комбинация саны,әрине, (m×k)×h=mkh санына тең.Енді комбинаторикалық есептерді шешуге және ықтималдықтар теориясының есептерін шешуге қажетті бірнеше формулаларды қорытып,оларға мысалдар келтірейік.Мұны қайталанбайтын іріктемеге тиісті формулаларды қорытудан бастайық.