§4. Ықтималдықты тікелей есептеуге мысалдар

1-мысал. Есеп шарты 1,2 мысалында көрсетілгендей. Сынау нәтижесінде екіге еселі нөмірлі жақтың (оқиғаның) пайда болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Жақтың екіге еселі нөмірлері 2,4,6. Бұларға сәйкес оқиғалар А_2, А_4, А₆ . Демек, А оқиғасына қолайлы жағдайлар (оқиғалар) саны m=3 екен. Жалпы жағдайлар саны n=6 екені мәлім. Сонымен, екіге еселі нөмірінің (А оқиғасы) пайда болу ықтималдығы р(А)=3/6=1/2, немесе 50%.

2-мысал. Жәшікте 3 ақ шар, 5 қызыл шар, 2 жасыл шар бар. Бұл шардың формасы және салмағы бірдей. Жәшіктен кез келген бір шар алынды. Алынған шар:а) ақ шар (А оқиғасы), ә) қызыл шар (В оқиғасы), б) жасыл шар (С оқиғасы) болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. а )Шарлардың үлкендігі және салмағы бірдей болмағандықтан, олардың шығу мүмкіндіктері де бірдей.Бір түсті шар шыққанда екінші түсті шар пайда болмайды. Сонымен, тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n=10.А оқиғасына (ақ шардың шығуы) қолайлы жағдайлар саны m=3. Демек, оның ықтималдығы

Р(А)=m/n=3/10=0.30 не 30% болады.

Қалғандарын да осылайша анықтаймыз, сонда

ә )р(В) =0,5;

б) р(С)=0,20.

3-мысал. Абай Құнанбаев тілінің сөздігінде әр түрлі 6000 сөз бар, оның 2975-і тек бір реттен ғана қолданылған, 800-і тек екі реттен қолданылған, 490-ы тек үш реттен қолданылған. Қалғандары төрт реттен және одан артық рет қолданған .

Ақын сөздігінен кез келген бір сөз алынды. Бұл сөз ақынның: а) тек бір реттен және ә) тек екі реттен, б) тек үш реттен, в) төрт және одан да көп реттен қолданылған сөз қорына тійістілік ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. а) Сынаудың барлық мүмкін нәтижелері (жағдайлар) саны 6000-ға тең. Әр сөздің де алыну мүмкіндігі бірдей, өйткені әрбір сөзді жеке-жеке карточкаға жазып , оларды араластырып, кез келген біреуін аламыз деп қарастыруымызға болады. Бұлар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайды.Тек бір рет қолданылған сөздің алынуын А оқиғасы десек, онда бұл оқиға қолайлы жағдайлар саны 2975 болады. Олай болса, ізделінген ықтималдылық

р(А)=m/n=2975/6000=0.496 не 49,6% болады.

Қалғандарын да осылайша анықтау қыйын емес, сонда

ә )0,150 б)0,082 в)0,272

болады.

4-мысал. Монет екі рет лақтырылды. Кем дегенде бір рет герб жағы пайда болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Есептің дұрыс шешілуі (әсіресе ықтималдыққа тиісті есептерді) есеп шартын дұрыс талқылауға байланысты. Бұл фактіні осы есептің шешуін талқылау арқылы көрсетейік.

Бірінші жолы: Даламбер талқылауы. Герб жағымен не бірінші лақтырғанда, не екінші лақтырғанда түседі, не тіпті түспейді. Сонымен, барлық жағдайлар саны-үшеу. Олардың ішінде А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны-екеу. Демек ізделінген ықтималдық.

Р(А)=2/3=0.667 не 66.7%болады.

Екінші жолы: бірінші монетті бір рет лақтырғанда герб не тиын жағымен түсуі мүмкін. Қай жағымен түссе де, бұл екінші рет лақтырғандағы монеттің герб (Г) не тиын (Т) жағының түсуімен комбинацияланып келеді. Ақырында, төменгі тең мүмкіндікті 4 жағдай болады. Олар:

ГТ; ТГ,

ГГ; ТТ.

Мұнда Г-герб, Т-тиын. Есептің шартын қолайлы жағдайлар саны. 3. Олай болса, ықтималдығы

Р(А)=3/4=0.75 не 75%

Сонымен, табылған екі ықтималдықтың қайсысы дұрыс, қайсысы қате деген сұрау өзінен өзі туады. Соны анықтайық. Даламбердің қателігі мынада болған: ол ГТ және ТГ жағдайлар жиынын ГГ және ТТ жағдайларымен тең мүмкіндікті деп алған. Шындығында бұлай болмайты екінші талқылаудан байқалады. Сонымен, екінші шешудің дұрыстығын байқаймыз.

5-мысал. Бірден екі ойын кубы лақтырылды. Олардың әрқайсысының жақтары 1,2,3,4,5,6 цифрларымен нөмірленген. Екі куб еденге түскенде үстінде шыққан нөмірінің (ұпайларының) қосындысы 7 болу ықтималдығы неге тең?

Шешуі. Алдымен лақтырылған екі ойын кубы нөмірлерінің барлық мүмкін түсу жағдайларын есептейік. Бірінші куб жақтарының нөмірлері әр түрлі алты тәсілмен түсуі мүмкін. Бұлар әр жолы екінші кубтың алты нөмірінің бірімен комбинацияланады. Бұл жағдай 1-таблицада келтірілген. Таблицаның ұяларындағы екі цифрдың біріншісі бірінші куб жағының нөмірін көрсетеді де, екіншісі, екінші куб жағының нөмірін көрсетеді. Ұялар саны 6∙6=36, демек барлық мүмкін жағдайлар саны n=36. Бұл жағдайлар қос-қостан үйлесімсіз, тең мүмкіндікті және оқиғалардың толық тобын құрайды. Енді қойылған сұраққа жауап беру үшін А оқиғасына, яғни нөмірінің қосындысы 7 болатын, қолайлы жағдайлар саны m неге тең болатынын анықтаймыз. Ол үшін таблицадан цифрларының қосындысы 7-ге тең болатын ұялар (элементарлық оқиғалар) санын табамыз. Олар (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).

Сонымен, А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m=6 екен. Олай болса, іздеген ықтималдық мәні

Р(А)=m/n=6/36=1/6

1-таблица

2-ші куб жақтарының нөмірі 1-ші куб жақтарының нөмірі	1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6	(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)	(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)	(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)	(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)	(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)	(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

6-мысал.(Де Мере есебі). Француз армиясының кавалериясы Де Мере (XV ғасыр өмір сүрген) құмар ойынға өте әуесқой және ұтудың әр түрлі жолдарын іздегіш болған екен. Құмар ойыннан туған есептің шешілетіне көзі анық жетпесе, математиктерден сұрап отырған. Сондай ойындардың бірі екі кубтың лақтыру, үш кубты лақтыру т.т. Кубты лақтырғанда ұпайлар ұпайлар қосындысы қандай сан болатынына бәсеке тіккен. Өте зерек ойыншы Де Мере үш кубты лақтырғанда ұпайларының қосындысы 11не 12 болып келу жағдайы жиі кездесетінін байқаған, бірақ солай болатынына өзі сене қоймаған және өзінше дәлелдеп те көрген. Сондықтан ол 1654 жылы замандасы Паскальға хат жазады. Хатында осы аталған есепті шешуді өтінеді. Біз бұл есепті төмендегіше тұжырымдайық.

Дұрыс үш кубты лақтырғанда ұпайларының қосындысы 11 не 12 болып келу жағдайының қайсысының ықтималдығы артық?

Шешуі. Ұпайларының қосындысы 11 болатыны А оқиғасы болсын, ал 12 болатыны В оқиғасы болсын.Кубтардың әрбіреуінің кез келген жағының шығу мүмкіндіктері бірдей.Екі кубты лақтырғанда барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны 36 болатыны 5-мысалдан мәлім.Олай болса,үш кубты лақтырғанда барлық тең мүмкіндікті нәтижелер саны 36*6=216 болатынын байқау қиын емес.Көрнекі болу үшін 6 қатарлы,36 бағаналы таблица құрайық.(2-таблицаны қара):

2-таблица

1	2	…	35	36
(1,1,1) (1,1,2) (1,1,3) (1,1,4) (1,1,5) (1,1,6)	(1,2,1) (1,2,2) (1,2,3) (1,2,4) (1,2,5) (1,2,6)	… … … … … …	(6,5,1) (6,5,2) (6,5,3) (6,5,4) (6,5,5) (6,5,6)	(6,6,1) (6,6,2) (6,6,3) (6,6,4) (6,6,5) (6,6,6)

Әрбір ұядағы жақша ішіндегі сандардың біріншісі-бірінші кубтың түскен ұпайы,екіншісі-екінші кубтың түскен ұпайы,үшіншісі-үшінші кубтың түскен ұпайы.Енді осы таблицаны пайдаланып,ұпайларының қосындысы х-ті табу қиын емес.Бірнеше ұядағы х-тің мәні бірдей болуы мүмкін,сондықтан олардың санын m(х) дейік.Сонда

m(3)=m(18)=1

m(4)=m(17)=3

m(5)=m(16)=6

m(6)=m(15)=10

m(7)=m(14)=15

m(8)=m(13)=21

m(9)=m(12)=25

m(10)=m(11)=27

Бұдан А және В оқығаларының ықтималдығын анықтау оңай.Өйткені А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m(11)=27,ал В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m(12)=25.Демек,іздеген ықтималдығымыз мынадай :

Яғни .Сондықтан да ұпайларының қосындысы 11 болады деп бәсекелескен адамның ұту мүмкіндігі көбірек.

Енді Де Мере шешуін келтірейік.

Де Мере 11 ұпай 12-ден гөрі жиі шығатынын бақағанымен,оған сене қоймайды да,өзінше дәлелдемесін келтіреді,ол төменднгідей:

11 ұпайды 6 түрлі тәсілмен шығарып аламыз,олар:(6,4,1),(6,3,2),(5,5,1),(5,4,2),(5,3,3),(4,4,3).

12 ұпайды да 6 түрлі тәсілмен табамыз (6,5,1),(6,4,1),(6,3,3),(5,5,2),(5,4,3),(4,4,4). Бұдан 11 ұпай және 12 ұпай шығу ықтималдығы бирдей екенін көремиз.

Паскалдың түсіндіруі бойынша,Де Мере іс жүзінде кездесетін жаідайды есепке алмаған,мысалы,тек 6,4,1, сандар комбинатциясы 6 рет кездеседі,(келесі пораграфтарды қара),олар;

(6,4,1) (4,1,6) (1,4,6)

(6,1,4) (4,6,1) (1,6,4)

Сондай-ақ (6,3,2) комбинатциясы-6,(5,5,1)-3,(5,4,2)-6,(5,3,3)-3,(4,4,3)-3. Сонымен ұпй саны 11 болатын барлық комбинациялар саны 27 екен.

Осы сияқты,12 ұпай шығатын комбинациялар саны мынадай;(6,5,1)-6,(6,4,2)-6,(6,3,3)-3,(5,5,2)-3,(5,4,3)-6,(4,4,4)-1,барлық саны 25-ке тең.

Сонымен,Де Мере қателігі комбинациялардың әр түрінен бір-бірден ғана алғандығында болып отыр(4-мысалдағы Даламбер қателігімен салыстыр)

Жаттығулар

1.Математика емтиханына 30 билет дайындалған,олар 1- ден 30-ға дейінгі сандар нөмірленген.Оқушы кез келген бір билетті алады.Алынган билет нөмірі:а)5-ке есел!к сан,ә)7-ге есел!к сан,б)тақ сан болу ықтималдығын анықтау керек.

Ықтималдықты анықтар алдында,осы мысал негізінде оқиғалардың қос-қостан үйлесімсіздігі,тең мүмкіндікті,оқиғалардың толық тобы,оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны ұғымдарына сипаттама беріп және оқиғаларды әріптермен белгілеп алған жөн.

2.Тексерілген детальдар тобында бірінші сортты деталь-100,екінші сортты деталь -50,үшінші сортты деталь да 50.Топ детальдың ішінен кез келген бір деталь алынады.Осы алынған детальмыз:а)1-сортты,2-сортты, б)3-сортты болу ықтималдығын анықтаңыз.

3.Әкеле жатқан жәшіктегі 91 жарамды,10 жарамсыз детальдың біреуі түсіп қалған.Қайсысы түскені белгісіз.Жәшік тиісті жерге жеткізілгеннен кейін,оның ішінен кез келген бір деталь алынады.Осы алынған деталь жарамды болып шықты.Жоғалған детальдың;а)жарамды болу,ә)жараамсыз болу ықтималдығын анықтаңыз.

4.38 шардың бетіне қазақ дыбыстарының әріптері жазылған.Кез келген бір шар алынады ,сол алынған шарға;а)дауысты дыбыс,ә)ұяң дыбыс,б)қатаң дыбыс,в)еріндік дыбыс,г)езулік дыбыс,д)үнді дыбыс жазылған болу ықтималдығын анықтаңыз.

5.Телефон соғатын нөмірдің соңғы екі цифры абонент есіне түспей қалып(бірақ ол цифрлардың әр түрлі екендігі есінде),ол кез келегн нөмірді алады.Сол алған нөмірінің соңғы екі цифры өзінің ұмытып қалған цифрлары болу ықтималдығын анықтаңыз.

6.Колодадағы 36 картаның біреуі алынды.Ол картаның:а)қарға болу,ә) король болу,б)суретті карта(король,дама,валет) болу ықтималдығын анықтаңыз.

7.Ойын кезінде бір бала 1-ден 9-ға дейінгі цифрлардың бірін атады.Екінші бала олрадың ішінен үшке еселікке кез келеген біреуін сол цифрдың орнына атаған. Сол аталған цифр ойдағы цифр болып шығу ықтималдығын анықтаңыз.

8.Монет үш рет лақтырылған.Тиын жағымен:а)кем дегенде екі рет түсу.ә)екіден артық емес рет түсу ықтималдығын анықтаңыз.

9.5-мысалдың шартын пайдаланып:а) ұпайларының қосындысы 3-ке еселік сан,ә)ұпайларының қосындысы жай сан болу ықтималдығын есептеңіз.

10.6-мысалдың шартын пайдаланып :а)ұпайларының қосындысы 15-тен кем болмау,ә)ұпайларының қосындысы 5-тен артық болмау ықтималдығын есептеңіз.

11.Жәшікке a ақ шар ,b қызыл шар бар.Жәшіктен қалаған бір шар алынады.Алынған шардың қызыл түсті болу ықтималдығын анықтаңыз.

12.Жәшіктегі ақ а шарлардың, қызыл b шарлардың біреуі қалғанша алынған.Сол қалған шардың:а)ақ шар болу,ә)қызыл шар болу ықтималдығын анықтаңыз.

13.Жәшікке ақ а шар,қызыл b шар бар.Жәшіктен бір шар алынады,ол ақ шар болып шықты.Бұл шарды қайта салмай,жәшіктен келесі шар алынады.Ол алынған шардың:а)ақ шар болу,ә)қызыл шар болу ықтималдығын анықтаңыз.

14.Бірдей 10 карточканың әрбіреуі 1-ден 10-ға дейінгі сандарға сәйкес түрде екілік санау системасындағы сандармаен нөмірленген.Карточкаларды араластырып алып,ішінен кез келген бір карточка алынады.Осы карточкаға жазылған санның кемінде бір цифры <0> болу ықтималдығын анықтаңыз.

15.Бірдей 20 карточканың әрбіреуі 1-ден 20-ға дейінгі сандарға сәйкес түрде үштік санау системасындағы сандармен нөмірленген.Алынған бір карточкаға жазылған санның кемінде екі цифры <1> болу ықтималдығын анықтаңыз.