§ 20. Сынауды қайталау

Ықтималдықтар теориясы мен оның қолданылуында осы уақытқа дейін қарастырылып келген жеке сынау нәтижесінің іс тұрғысынан қарағанда қажеттігі шамалы.Өйткені практика жүзінде жеке сынау нәтижесін алдын ала болжау мақсат етілмейді.Мұның орнына сынаудың сан алуан қайталанып отыратын жағдайы мен оған тиісті ықтималдықтарды есептеуді мақсат етеді.Осы айтылғандарды жай мысалдармен түсіндірейік.

1.Мақтаны еккенде оның жеке бір шитінің (дәнінің) көктеп шығуының(ықтималдығы) практика тұрғысынан ешқандай қажеті жоқ.Мақта егушілер үшін сол егілген шиттің қанша процетінің (ықтималдығы) шығуын білу жеткілікті.Осыған қарай мақта өнімін алдын ала болжап және жоспарлап отырады.

2.Мемлекеттік көлемде жеке адамның бас киімінің өлшемін(ықтималдығы) білу (я білмеу) назар аударалық іс емес.Бірақ жоспарлаушы ұйымдар,сауда мекемелері үшін сондай өлшемді киәм киетін адамдар неше процент(ықтималдық) құрайтынын білудің мәні зор.

Бұл келтірілген мысалдардың біріншісінде мақта шитінің өніп шығуы (сынаудың),екінші мысалда белгілі бір өлшемді бас киімнің сан алуан (сынаудың)қайталануын байқап отырмыз.Өорыта келгенде,сынаудың қайталанып отыруына байланыста мәселелермен айналысамыз.Алайда,сынау жүргізгенде бірнеше нәтиженің (оқиғаның) пайда болуын (мысалы,кубты лақтырғанда 6 нәтиже,монетті лақтырғанда екі нәтиже т.т) күтуімізге болады.Бұлардың ішіндегі ең қарапайымы сынау нәтижесі тек екі оқиға. А және оған қарама қарсы Ā болатын және әрбір тәуелсіз сынауда оқиғаның пайда болу ықтиалдығы тұрақты p=p(A) (пайда болмауы q=1-p) тең болатын схемасы (сынаудың түрі).Мұндай қарапайым схеманы тұңғыш қарастырған Швейцария ғалымы Я.Бернулли (1654-1705),сондықтан бұл схеманы Бернулли схемасы немесе тәуелсіз сынауларды қайталау схемасы деп айтады.Ал сынауды тәуелсіз дегенде біз оқиғаның пайда болу (я болмау) ықтималдығы бір сынаудан екінші сынауға дейін өзгермейді және оқиңа басқа , алдыңғы не соңғы,сынауларда пайда болды ма не болмады ма, оған байланысты емес деп түсінетін боламыз.

1-мысал.Нысананы көздеп 3 рет оқ атылды.Әр қайсысының дәл тию ықтималдығы бірдей,яғни ол –ге тең.Нысанға дәл екі оқтың тию ықтималдығы неге тең?

Бұл мысалда нысананы көздеп әрбір ату сынау болады. Сонда барлығы 3 сынау жүргізілді.Бір рет атылған оқтың нысанаға тиюі не тимеу нәтижесі екінші атылған оқтың тию тимеуіне тәуелді емес,яғни бұлар тәуелсіз санаулар.Оқтың бір атқанда нсанға дәл тиюі А оқиғасы десек,онда тимеуі Ā оқиғасы болады.Олардың ықтималдылықтары берілген шарт бойынша

P=p(A)=

q=p()=1-p=

Оқ үш рет атылғанда нысананға дәл екі рет тиюі В оқиғасы болсын.Әрине бұл күрделі оқиға,өйткені бұл оқиға құрамында алғашқы екі оқ тиіп үшіншісі тимейтін(ААА оқиғасы) не бірінші мен үшінші оқ тиіп,екінші мен (ААА оқиғасы), не екінші және үшінші оқ тиіп,біріншісі тимейтін (ААА оқиғасы) оқиғалар бар,яғни

B=AAĀ+AĀA+ĀAA.

А мен Ā оқиғалары тәуелсіз ал қосылғыштар үйлесімсіз олай болса,қосу мен көбейту теоремасы негізінде В оқиғасының ықтималдылығы.

P(B)=p=(AAĀ+AĀA+ĀAA)=p(AAĀ)+p(AĀA)+p(ĀAA)=p(A) p(A) p(Ā)+ p(A) p(Ā) p(A)+ p(Ā) p(A) p(A)=ppq+pqp+qpp=3p²q.

p²q өрнегінің коеффиценті 3 элементтен екі екіден алынған теру санына тең,олай болса,

p(B)= 3p²q = C²p²q=²=0.22.

Сонымен,А оқиғасының әрбір санауда пайда болу ықтималдығы тұрақты болғанда,В оқиғасының ықтималдығы неге тең болатынын анықтадық.Бұл нәтижелерді жалпы түрде көрсетейік,яғни мына теореманы дәлелдейік.

Теорема. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және ол p- ге тең болса,онда n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде ол оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығы мынаған тең:

P_n(m)=p^mq^n-m.

Дәлелдеу. Мұны дәлелдеу үшін n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде оқиғаның дәл m рет пайда болуын В оқиғасы деп белгілейік.

Оқиғаның (А оқиғасы) m рет пайда болуының және n-m пайда болмауының () барлық мүмкін болатын тізбегін құрайық.Ол:

АĀ,,...

Бұл тізбек мүшелерінің (оқиғалардың) бір- бірінен айырмашылығы тек орналасу ретінде ғана болып отыр, сондықтан оны А оқиғасы m рет,Ā оқиғасы n-m рет енетін қайтамалы алмастыру деп қарастыруға болады.Олардың саны

= (10.4)

Тізбек мүшелері (оқиғалар) қос- қостан үйлесімсіз оқиғалар. Бұлардың қандай да біреуінің пайда болуынан В оқиғасы пайда болып отырады,бұл жағдай былайша жазылатын:

B = AA … AĀĀ … Ā + AA … AĀAĀ … ĀĀ + … + ĀĀ … ĀAA … A.

Қосу теоремасы бойынша,

p(B)= p(AA … AĀAĀ …ĀĀ)+ … +p(ĀĀ … ĀAA …A).

Теңдіетің оң жақ бөлігіндегі әрбір ықтималдықты анықтайық.Ол үшін p(AA … AĀĀ … Ā) ықтималдығын алайық.Бұл А оқиғасының m рет алынған р ықтималдықтары мен Ā оқиғасының n-m рет алынған q ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең,яғни

P(AA … AĀĀ …Ā)=p(A) p(A) … p(A) p(Ā) …p(Ā)=pp … pqq …q=p^mq^n-m.

Қалған ықтималдықтардың да осы p^mq^n-m тең болатынын байқау қиын емес. Енді(10.4) формуласын ескеріп,р(В) ықтималдығын былайша жазамыз,

p(B)=p^mq^n-m+ p^mq^n-m +….+ p^mq^n-m=p^mq^n-m. (1)

Оқиғаның тәуелсіз n сынауда дәл m рет пайда болу ықтималдығы р(В)-ні жеңіл түсіну үшін оны деп жазамыз, сонда

p_n=(m)=p^mq^n-m. (1)

Осымен теория дәлелденді.

Бұл формуладағы m- нің мәндері 0,1,2, ... , n болуы мүмкін. m- нің көрсетілетін мәндеріндегі оқиғалар бір бірімен үйлесімсіз барлық мүмкін оқиғалардың толық тобын құрайды. Сондықтан олардың қосындысы ақиқат оқиға.Ал ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең болғандықтан,

p_n(0)+p_n(1)+…+P_n(n)=1,

немес

• Формуладағы мәнін қойсақ,

шығады.

• формуладағы қосындысы бірге тең ықтималдықтар m=0,1,2, …,n мәндеріне сәйкес p_n(0), p_n(1), p_n(2),…, p_n ықтималдықтарға бөлінді (үйлестірілді).Сондықтан m=0,1,2,…, n болғанда,

p_n=(m)=p^mq^n-m.

формуласын ықтималдықтардың биномдық үлестірімділігі не биномдық үлестірімдік заңы деп атайды.

Ал м нің дербес мәніне сәйкес ықтималдықты биномдық ықтималдық деп атайды.Биномдық үлестірімдік заңын таблица түрінде жазуға болады. Бұл таблицаның бірінші қатарында м мәндері,екіншісінде оларға сәйкес p_n=(m) ықтималдық мәндері келтірілген:

m	0	1	2	…	m	…	n-1	n
pn=(m)	qn	npqn-1	p2qn-2	…	pmqn-m	…	npn-1q	pn

Жоғарыда аталған «биномдық», «биномдық ықтималдық» терминдерінің шығу төркінін түсіндірейік.

Әрбір сынауда не А оқиғасы,не Ā оқиғасы пайда болатындықтан,

p(A)+p (A) не p+q=1

n рет тәуелсіз санау жүргізсек,онда көбейту теоремасы бойынша былай болады:

(p+q)ⁿ=1 (3)

• мен (2) теңдіктің оң жақ бөліктері тең болғандықтан,сол жақ бөліктері де тең болады,олай болса,

Бұл формула Ньютон биномы формуласынан да шығады.Шынында

(q+pt)ⁿ=qⁿ+ (5)

Болады. Бұл өрнектегі коеффиценті мынадай:

Егер десек ,онда () формула шығады.

Сонымен,мұндағы m=0,1,2… , n мәндеріне сәйкес p_n(m) ықтималдығын биномдық ықтималдық деп атау себебі биномды (екі мүшені) Ньютон формуласы бойынша жіетеу ұқсастығында болып отырғанын байқаймыз.

Бұл ықтималдылықтарды график түріде кескіндеуге болады.Ол үшін абциссалар осіне м мәндерін,ординаталар осіне мәедерін салу керек.Әрбір сандарына сәйкес ұштарын қоссақ, көп бұрыш шығады.Мұны ықтималдықтардың үлестірімділік көп бұрышы деп те атайды.Бұл графиктер үшінші мысалда кетірілген( 7және 8 чертежді қара)

2-мысал.Нысананы көздеп тәуелсіз 10 рет оқ атылды.Әр қайсысының нысанаға тию ықтималдығы –ге тең болса,онда атылған тәуелсіз 10 оқтың нақты 4- нің нысанаға тиюі ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі:Есеп шарты бойынша сынау саны n=10.Әрбір сынаудағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы p= және m=4. Демек ( 1) формула бойынша

p_n(m)=p₁₀(4)=⁴⁶=210⁴⁶=0,22760

3-мысал. 2 мысалы шартын пайдаланып, m=0,1,2,….,10 мәндеріне сәйкес ықтималдықтарды есептеп және олардың графигін сызу керек.

Шешуі:Іздеп отырған ықтималдықтарды,2- мысалдағыдай,(1) формула бойынша есептейміз,сонда

P₁₀(10)=¹⁰=0,0173.

P₁₀(1)=⁹=10*⁹=0,0867.

P₁₀(2)=²⁸=45*²⁸=0,19551.

P₁₀(3)=³⁷=120*³⁷=0,2602.

P₁₀(4)=⁴⁶=210*⁴⁶=0.2276.

P₁₀(5)=⁵⁵=252*⁵⁵=0,1366.

P₁₀(6)=⁶⁴=210*⁶⁴=0,0569.

P₁₀(7)=⁷³=120*⁷³=0,0163.

P₁₀(8)=⁸²=45*⁸²=0,0031.

P₁₀(9)=⁹=10*⁹=0,0003

P₁₀(10)=0,00002

Ықтималдықтар мәнін чертежге салу үшін абцсиссалар осіне m мәндерін,ординаталар осіне р_n(m) мәндерін саламыз(7- чертежді қара).Ал бұл чертеждегі р_n(m) мәндерінің ұштарын қоссақ,онда 8- чертежде көрсетілген ықтималдықтар үлестірімділігінің көпбұрышы шығыды.

4- мысал. Ұл баланың туу ықтималдығы-0,51 .Жаңа туған 100 нәрестенің дәл 50-нің ұл бала болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі:Шарт бойынша n=100,m=50,p=0,51,q=0,49.

• Формула бойынша

P₁₀₀(50)= (0.51)⁵⁰ (0.49)⁵⁰.

Теңдіктің екі жағын да логарифмдейміз,сонда

(50) = lg + 50 lg 0,51+50 lg 0,49.

10-параграфтағы 3-мысалдың шешуін пайдалансақ ,

Lg lg 50! = 29,0038.

Ал

lg 0,51=-0,2924, lg 0,49=-0,3098,

Сонда lg =50(-0,2924)=-14,6200.

lg =50(-0,3098)=-15,4900.

Демек,

lg (50)=29,0038 – 14,6200 – 15,4900 = -1,1062 = 2,8938

Бұдан іздеген ықтималдығымыз

(50)=0,0783 0,078.

-нің жуық формуласы

Сынау саны n үлкен болған сайын p_n(m)ықтималдықта (20.1)формуласымен есептеу қиындай түседі. Сондықтан ғалымдар осы формула жарық көрісімен-ақ оған жуық формулаларды іздестіре бастаған.n жеткілікті үлкен болғанда,ал p мәні 0 мен 1-ге мейлінше жуық болмаған жағдайда (20.1) формула орнына төмендегі жуық формуланы пайдаланады.

(1)

Мұнда

(2)

• Формуласымен p_n(m) ықтималдықтың жуық мәнін табу өте оңай.Ол үшін

(3)

Функциясының таблицасын пайдаланамыз (бұл таблица кітаптың соңында келтірілді).

функциясы симметриялы,яғни болғандықтан (9-чертеж),таблицада х тің тек оң мәндері ғана кетірілген.Сонымен,(1) формула

p(x)= (4)

түрінде жазылады.

Есеп шығару алгоритімі:

1.Берілген n,m,p мәндері бойынша (2)формуладан х) мәнін анықтаймыз.

2. ІІ таблица бойынша х мәніне сәйкес мәнін табамыз.

3.х) мәнін (4) формулаға қойып,p(x) мәнін анықтаймыз. Бұл p_n(m)-нің жуық мәні болады.

1-мысал.20. 3-мысалда берілген n=10, p= , m=0,1,2,…,10 мәндері бойынша биномдық ықтималдықтың жуық мәнін (4) формуласы бойынша есептеу керек.

Шешеуі.1. Алдымен m=4 болғандағы ықтималдықтың мәнін анықтайық.Қалғандары осы сияқты табылады.

=

m	m-np	=(m-np)
0	-	-2,236	0,0337	0,0226	0,0173
1	-	-1,566	0,1170	0,0785	0,0867
2	-	-0,895	0,2670	0,1894	0,1951
3	-	-0,224	0,3891	0,2611	0,2601
4		0,447	0,3605	0,2418	0,2276
5		1,118	0,2135	0,1433	0,1366
6		1,789	0,0806	0,0541	0,0569
7		2,460	0,0194	0,0130	0,0163
8		3,131	0,0030	0,0020	0,0031
9		3,802	0,0003	0,0002	0,0003
10		4,471	0,000006	0,000005	0,000020

2. II таблицадан .

3.

m-нің қалған мәндеріндегі ықтималдылықтарды да осылайша есептеу қиын емес. (6-таблицаға қара)

Бұл таблицадан (4) формуламен есептелінген ықтималдық мәні дәл биномдық ықтималдық мәніне өте жуық екенін байқаймыз.Ал, n үлкен болған сайын, оның дәлдігі арта түседі.

2-мысал. Ұл баланың туу ықтималдығы 0,51. Жаңа туған 100 нәрестенің 50-і ұл болу ықтималдығын анықтау керек (20.4-есепті қара).

Шешуі. Шарты бойынша n=100, m=50, p=0,51,q=0,49. Бернулли формуласы бойынша

P₁₀₀(50)=C₁₀₀⁵⁰(0,51)⁵⁰(0,49)⁵⁰.

Мұны есептеуге көп уақыт кететінін көрдік. Сондықтан ықтималдықты (4) формула бойынша есептейміз:

• X==-.2

• P(x)=

Демек, іздеген ықтималдық р₁₀₀(50)0,0782

Е С К Е Р Т У.Бұл (4) формуланың өзіндік мағынасы да бар. Мұны, х үздіксіз болғанда, Гаусстың қалыпты (нормаль) заңы немесе қателер заңы деп те атайды. Өйткені жіберілген кездейсоқ қателер осы заң арқылы сипатталады. Бұл заң көптеген кездейсоқ құбылыстардың математикалық модель қызметін атқарады, сондықтан оның практикалық та, теориялық та мәні зор.

ЖАТТЫҒУЛАР

• Кез келген бір семьядағы балалар саны 8.Ұл бала мен қыз баланың туу ықтималдығы бірдей деп ұйғарылғанда, сол семьядағы балалардың:а) дәл 3-нің қыз бала,ә) дәл 5-нің ұл бала болу ықтималдығын анықтаңыз.

• Ойын кубигі 10 рет лақтырылған. 5 ұпайдың дәл 3 рет шығу ықтималдығын анықтаңыз.

• Бір заем облигациясының ұту ықтималдығы 0,20-ға тең.8 облигациядан 5-нің ұту ықтималдығы неге тең?

• Қабілетті бірдей екі ойыншы шахмат ойнады.Олардың біреуінің 6 партиядан 4-уін ұту ықтималдығы 5 партиядан 3-уін ұту ықтималдығын артық па әлде кем бе?

• Институттың бірінші курсына 5 студент қабылданды. Ұл балалардың туу ықтималдығы 0,51 болғанда, қабылданған балалардың 260-ының қыз бала болу ықтималдығы неге тең?

• Автоматтық станокта стандарт деталь дайындау ықтималдығы 0,90. Дайындалған 400 детальдың 370-інің стандарт болу ықтималдығын анықтаңыз.

• Монет 1000 рет лақтырылғанда, тиынжағымен 520 рет түсу ықтималдығын анықтаңыз.

Ең ықтималды сан

Енді р_n(m) ықтималдығын аргументі mбүтін сан болатын функция деп қарастырайық. Сөйтіп, m-нің артуына байланысты р_n(m) қалай өзгеретінін анықтайық. 20,3 мысалға зер салсақ, р_n(m) функциясы аргумент m артқанда m-нің белгілі бір мәніне дейін өсіп, максимум (ең үлкен ) мәнін қабылдайды да, m-нің қалған мәндерінде р_n(m) мәні кеміп отырады. р_n(m)-нің ең үлкен мәніне сәйкес келетін m мәнін м о д а (модаль сан) немесе ең ықтималды сан деп атайды. Бұл мәнді m_e деп белгілейік. Енді, осы ең ықтималды сан m_e –ні анықтаудың жалпы формуласын табайық. Ол үшін ең үлкен ықтималдықты р_n(m) деп ұйғарайық та, мұның алдындағы . р_n(m-1) мен кейінгі . р_n(m+1) ықтималдылықтарды алайық. Сонымен,

р_n(m) р_n(m-1)

р_n(m) р_n(m+1)

Бұлардың әрқайсысын жеке-жеке қарастырайық, сонда

= = =

Бұдан m

Екінші теңсіздіктен шығатыны:

===

Бұдан m шығады.

Бұл екі теңсіздікті біріктірсек, мынау шығады:

(1)

Бұл теңсіздіктің оң жақ бөлігін түрлендірейік:

Np+p=np+(1-q)=(np-q)+1.

Сонымен, (1) теңсіздіктің оң жақ бөлігі сол жақ бөлігінен бір бірлікке артық. m-нің np-q және np+1 бүтін мәндерінде

,

Яғни, екі ықтималдықтың да мәндері ең үлкен болады.Ал, не сандары бөлшек болса, онда айырмасы бірге тең екі бөлшек шығады, бірақ m мәні бүтін сан болғандықтан, ең ықтималды сан біреу ғана болады. Сонымен, (m) функциясының -ге байланысты өзгеруін толық айқындадық деуге болады, яғни m мәні np-q- дан кем болғанға дейін мәні артады, одан кейін m-нің келесі мәнінде бұл функция ең үлкен мәнін қабылдайды, сөйтіп, m- нің np+p –ден артық мәндерінде кемиді.

Қорытып айтқанда, ең ықтималды сан мәні np-q не (np+p) іне тәуелді. Егер np-q не (np+p) бөлшек сан болса, онда

(2)

болады.

Ал, np-q не (np+p) бүтін сан болса, онда

(3)

1-мысал. Өткен 21-параграфтағы 1- мысалдың берілгені бойынша ең ықтималды сан мәнін анықтау керек.

Ш Е Ш У І:np+p=10*=,демек,

=[np+p]=[3]=3.

Бұған сәйкес ықтималдық

Шынында да, бұл ықтималдық қалған ықтималдылықтардың бәрінен де үлкен.

ЖАТТЫҒУЛАР

1.21.1 жаттығу шарты бойынша ең ықтималды сан ні анықтаңыз.

2.21.6 жаттығуда берілген мәліметтерді пайдаланып ең ықтималды сан m-ді анықтаңыз.

3.Жарамсыз деталь дайындау ықтималдығы p=0.05.=63 болатын партияда неше деталь бар?

4.126 рет санау жүргізгенде, А оқиғасының пайда болуының ең ықтималды саны 63 болса, әрбір санаудың ықтималдығы неге тең?