§16.Оқиғаның кемінде бір рет пайда болуының ықтималдығын есептеу

Теорема.Бірнеше үйлесімді А₁,A_2,…,A_n оқиғаларының кемінде біреуінің пайда болу ықтималдығы барлық қарама- қарсы оқиғаладың бірден пайда болу ықтималдығын бір санынан шегергенге тең:

р(А₁ +A₂+…+A_n)= 1- p(). (1)

Дәлелдеу. А₁,A_2,…,A_n оқиғаларын кемінде біреуінің пайда болуын В-мен белгілейік. Оқиғалар үйлесімді болғандықтан, олардың В оқиғасына тиісті. А₁,A_2,…,A_n оқиғалардың бірде біреуі пайда болмайтын В-ге қарама қарсы оқиға ықтималдығы мынаған тең

р()= p(). (2)

(13.6) формуланы еске түсірсек, сонда

р(В)=1- p(), (3)

немесе

р(А₁ +A₂+…+A_n)= 1- p(). (4)

болады.

1-салдар. А₁,A_2,…,A_n оқиғалар жиынтығы бойынша тәуелсіз болса, онда

р(А₁ +A₂+…+A_n)= 1- p(). (5)

2-салдар. Егер р(А₁) = p(A₂) = … = p(A_n) = p болса ,

онда

р(А₁ +A₂+…+A_n)= 1- p(1-p)ⁿ. (6)

1-мысал. Соғыс кемелері жүзетін жолға үш қатар мина қамалы жасалынған. Кеме осы мина қамалдарының ең тиімді жоларын тауып өтуі керек. Бірінші қатардан өткенде кеменің минаға тиіп жарылу(А) ықтималдығы – 0.60, екінші қатарда жарылу (В) ытималдығы- 0.70, үшіншіде жарылу (С) ықтималдығы – 0.50. кеме осы мина қамалдарын өткенде кемінде бір қатарда минаға тиіп жарылу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Есеп шарты бойынша кеменің бірінші,екінші, үшінші қатарларда жарылмау ықтималдығы сәйкес түрде

сандарына тең. Сонда кеменің үш қатар мина қамалынан аман өту ықтималдығы 0,4∙0,3∙0,5 көбейтіндісіне тең. Кемінде бір қатарда жарылу ықтималдығын P десек, ол мынадай болады:

94

2-мысал. Бір нысананы көздеп үш рет оқ атылды. Бірінші рет атылған оқтың нысанаға дәл тию ықтималдығы – 0,2, екінші ретте дәл тию ықтималдығы – 0,3, үшінші - 0,4. Осы атылған үш оқтың кемінде біреуінің тию ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Бұл есепті екі тәсілмен шешуге болады. Бірінші атылған оқтың нысанаға тиюі А оқиғасы (тимеуі А оқиғасы), сәйкес екінші және үшінші реттегі нысанаға дәл тиюі А және А (тимеуі А және А) болсын. Оқ үш рет атылғанда үшеуі де тиюі не екеуі тиіп, біреуі тимеуі немесе біреуі тиіп, екеуі тимеуі мүмкін, яғни бұлар,AAA , ААА, ААА, ААА, ААА, ААА түрінде жазылады. Оқиғалардың кемінде бір рет пайда болуын B деп белгілесек, онда

Көбейту және қосу теоремаларының және А, А, А тің жиынтығы бойынша тәуелсіздігін ескерсек, онда В оқиғасының ықтималдығы мынаған тең болады:

+

Сонымен, іздеген ықтималдық 0,664-ке тең. Бірақ бұл жол аса көп есептеуді керек ететінін көрдік. Ал екіншісі, бұған қарағанда, қысқа. Енді сол екінші жолды келтірейік.

В оқиғасына қарама-қарсы оқиға, атылған оқтың үшеуі де нысанаға тимеуі В=ААА тең. В және В оқиғалары үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын болғандықтан, бұдан шығады.

Ал, болады. Олай болса, іздеген ықтималдығымыз

Бұдан екінші тәсілмен жоғарыдағыдай есептерді шешудің тиімді болатынын байқаймыз.

3-мысал. Нысанаға атылған үш оқтың әрқайсысының тию ықтималдығы бірдей, 0,3-ке тең. Сол атылған оқтардың кемінде біреуінің нысанаға тию (В оқиғасы) ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. 2-мысалдың бұл дербес түрі. Өйткені демек,

Олай болса,

Жаттығулар

1. Пачкадағы 100 лотерея билетінің 20-сы ұтыс билеті. Жеке-жеке сатып алынған екі билеттің екеуі де ұтыс билеті болу ықтималдығын анықтаңыз.

2. Оқушы программа бойынша құрастырылған 30 сұраудың 25-ін біледі. Мұғалімнің берген үш сұрауына да оқушының дұрыс жауап беру ықтималдығын анықтаңыз.

3. Жәшікте 6 қызыл түсті, 4 ақ түсті шар бар. Жәшіктен кез келген үш шар алынды. Үшеуінің де қызыл түсті болу ықтималдығын анықтаңыз.

4. 42 қазақ әріптерінен кез келген 7әріпті алып, қатарынан тіркестіре қойғанда «Шымкент» сөзінің шығу ықтималдығы неге тең?

5. Колодадағы 36 картадан бірден төрт карта алынды. Бұл карталардың әр түсті болу ықтималдығын анықтаңыз.

6. Бір кластағы 24 оқушының 4-уі үздік оқиды, екінші кластағы 22 оқушының 5-уі үздік оқиды. Әр кластан кез келген бір -бір оқушы шақырылды. a) Бұлардың екеуі де үздік оқушы, ә) біреуі үздік оқушы болу ықтималдығын анықтаңыз.

7. Біреуді туған күнімен құттықтауға N жолдастары келеді. Келген қонақтардың аяқ киімдерінің өлшемі бірдей және бәрінің де галоштары бар. Олардың әрқайсысы өзінің оң аяғының галошын сол аяғының галошынан ажырата алады, бірақ бірінің галошын екіншісі ажырата алмайды. Мына ықтималдықтарды анықтаңыз:

a) әр қонақ өз галошын киеді;

ә) әр қонақ бір кісіге тиісті пар галошты (ол пар галош өзінікі болмауы да мүмкін) киеді.

8. Еркін мамасымен магазинге бірге барғанды жақсы көреді, өйткені бірге жүргенде мамасы ойыншық алып беруі мүмкін. Бүгін мамасы оны өзімен бірге магазинге ерту ықтималдығы 0,3. Егер мамасы Еркінді өзімен ертіп шықса, онда оған ойыншық алып беру ықтималдығы 0,7. Мамасы Еркінді бүгін магазинге ертіп барып, ойыншық әперу ықтималдығын анықтаңыз.

9. Күні бойы үзіліссіз жұмыс істейтін станок 3 бөлшектен тұрады. Бұлардың әрқайсысы бір- біріне байланыссыз-ақ істен шығып қалуы мүмкін. Біреуі- ақ істен шықса, станок жұмыс істемейді. Бірінші станоктың күні бойы үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығы - 0,90, екіншісінікі - 0,95, үшіншісінікі – 0,97. Күні бойы станоктың үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығын анықтаңыз.

10. Үш мерген нысананы дәл көздеп бір-біріне байланыссыз, оқ атады. Біріншінің нысанаға дәл тигізу ықтималдығы – 0,7, екіншісінікі – 0,75, үшіншісінікі – 0,80. Егер әр мерген бір реттен ғана оқ атса, онда нысанаға кемінде біреуінің тигізу ықтималдығы неге тең?

11. Аяқ киім фабрикасында бәтеңкенің ұлтанын, өкшесін және үстін жеке цехтарда дайындайды. Шығарылған ұлтандардың 5%-ті, өкшенің 1%-ті, үстінің 5%-ті жарамсыз болуы мүмкін. Бәтеңке тігетін цехта бұл үшеуі кездейсоқ алынып, біріктіріледі, сөйтіп, олардан бәтеңке дайындалады. Дайындалған пар бәтеңкелердің неше процентінде жарамсыз бөлшектер кездеседі?

12. Белгілі бір жағдайда 60 жастағы адамның 61жасында дүние салу ықтималдығы – 0,09. 60 жастағы үш адамның: а) бір жылдан соң үшеуі де тірі жүру ықтималдығы неге тең? ә) кемінде біреуінің тірі жүру ықтималдығы неге тең?