§15. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы

Бұл теорема тәуелді немесе тәуелсіз бірнеше оқиғалардың бірден пайда болу ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді.

Теорема. Екі тәуелді оқиға көбейтіндісінің ықтималдығы біреуінің шартсыз ықтималдығын сол оқиға пайда болды деп алынғандағы екінші оқиғаның шартты ықтималдығын көбейткенге тең:

р(АВ)=р(А)р_А(В) (1)

немесе

р(АВ)=р(B)р_B(A) (1’)

Дәлелдеу. Тең мүмкіндікті, үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын n жағдайлардың А оқиғасына қолайлысы m болсын.Онда оның ықтималығы мынаған тең:

р(А)= (2)

Сондай-ақ В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны k болсын, онда оның ықтималдығы мынаған тең:

р(B)= (3)

AB (А және В) оқиғасына қолайлы жағдайлар саны r болсын, онда мұның ықтималдығы мынау:

р(АВ)= (4)

Әрине

r ≤ m, r ≤ k.

Шартты ықтималдық мәні

Р_в(А)= (5)

Өйткені В оқиғасына қолайлы k жағдайлардың ( бұл жерде оқиғалар тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалар деп түсінеміз) тек r жағдайы ғана А оқиғасына тиісті. Осы сияқты,

Р_А(В)= (6)

орындалатынын көрсетуге болады. Енді (4) бөлшектің алымын да, бөлімін де m санына көбейтеміз, сонда

Р(АВ)=

ал, егер оның алымын да, бөлімінде k санына көбейтсек, мынау шығады:

Р(АВ)=

Теорема дәлелденді деп есептейміз. (1) және (1’) тендіктерінің сол жақ бөліктері боліктері тең болғандықтан, оның оң жақ бөліктері өзара тең болады:

(7)

Теорема оқиғалар саны екіден артық болғанда да орындалады.

1-салдар. А,В,С тәуелді оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығы бірінің шартсыз ықтимадығына, алдыңғы екі оқиа орындалғандағы үшінші шартты ықтималдықты көбейткенге тең, яғни

Мұны басқаша түрде былай жазуға болады:

Жоғардағы үш оқиғаның орнына n тәуелді А₁,A₂,…,A_n оқиғаларын алғанда

p(А₁,A₂,…,A_n)= p (A₁)p(A₂)…

теңдігі орындалады.

1-мысал Жәшіктегі біркелкі М қызыл, N-M ақ шардан кез келген екі шар алынады. Оның екеуі де қызыл болу ықтималдығын анықтау керек (11.1-мысалмен салыстыр).

Шешуі. Шарды бір брлеп алайық, алынған шар жәшікке қайта салынбайды.Бірінші алынған шардың қызыл түсті болуы В оқиғасы,екінші алынған шардың қызыл түсті болуы А оқиғасы болсын. Сонда

р(В)=

Бірінші жолы қызыл түсті шар шыққан (В оқиғасы) соң,екінші алғанда қызыл түсті шар шығу(А оқиғасы) ықтималдығы мынаған тең:

p_B(A)=

өйткені шар саны қызыл түсті шардың алынуына байланысты1- ге кеміген. Олай болса, бірінші және екінші алынған шардың қызыл түсті болу ықтималдығы (АВ оқиғасы) мынадай:

р(АВ)=p(B)p_B(A)=

Бұл нәтижені (ықтималдықтарды ) тікелей есептей аламыз. Шынында да, екішарды тең мүмкіндікті тәсілмен аламыз. Ал екі қызыл түсті шарды ылғи қызыл ылғи қызыл шардың ішінен тәсілмен аламыз, сонда іздеген ықтималдығымыз мынадай

p(A)=

М

О

С

К

В

А

2-мысал.

К

В

А

С

Сөзін кұрастыратын кеспе әріптер әбден араластырылып, 4 кеспе әріпті қатарынан қойғанда сөзінің шығу ықтималдығын анықтау

керек (6.2-мысалмен салыстыр).

К

Шешуі. Бірінші алған кеспе әріп болуы А₁

В

Оқиғасы болсын, екіншісі болуы- A₂, үшіншісі-

A
С

Болуы А₃ оқиғасы, төртіншісі болуы А₄ оқиғасы болсын десек,

К

В

А

С

онда сөзінің пайда болуы А оқиғасы болады.кобейту

теоремасы бойынша

к

в

а

с

р(А)= p( ) =

Енді тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығын анықтау мәселесін қарастырайық.

Теорема Екі тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығы олардың шартсыз ықтималдықтарының көбйтіндісіне тең, яғни

р(АВ) =p(A)p(B) (10)

болады.

Дәлелдеу. А және В тәелсіз болғанда р_В(А)=p(A) және p_A(B)=p(B). Бұл р_А(В) мәнін (1) формулаға қойсақ

р(АВ) =p(A)p(B)

шығады.

Бұл теореманы бірнеше оқиғалар үшін жалпылауға болады. Ол үшін алдымен бірнеше оқиғалардың тәуелсіздігінің анықтамасын берейік.

Егер А₁,A₂,…,A_n оқиғаларының кез келген ықтималдығы қалған оқиғалардың қалаған көбейтіндісінің пайда болуына байланысты болмаса, ондай оқиғаларды жиынтығы бойынша тәуелсіз деп атайды. Бұл анықтамадан

Қатынасы шығады бірнеше тәуелсіз оқиғалар үшін көбейту теоремасы төмендегідей:

Теорема. Егер А₁,A₂,…,A_n оқиғалары жиынтығы бойынша тәуелсіз болса, онда олардың көбейтіндісінің ықтималдығы ықтималдықтардың көбейтіндісіне тең, яғни

p(А₁,A₂,…,A_n)=p (А₁)(A₂)…(A_n). (12)

Мұның дәлелдемесі (9) және (11) теңдіктерден шығады.

Ескету. А₁,A₂,…,A_n оқиғалары қос- қостан тәуелсәз болғанымен, жиынтығы бойынша тәуелсіз болмауы мүмкін. Мұны байқау үшін С.Н.Бернштрейн мысалын келтірейік.

Жәшіте 110,101,011,және 000 деп нөмірленген төрт билет бар дейік. Жәшіктегі билеттің кез келген біреуін алғанда, оның бірінші цифры 1 болуы А₁ оқиғасы, екінші цифры 1 болуы А₂ оқиғасы, үшінші цифры 1 болуы А₃ оқиғасы болсын. Сонда

p (А₁)=p(A₂)=p(A₃)=

Енді оқиғалардың қос- қостан болатынын көрсетеміз. Ол үшін, алдымен, А₂ оқиғасының ықтималдығы А₁ оқиғасының пайда болу- болмауына байланысты болмайтынын көрсетейік. Шынында, А₁ оқиғасы пайда болса, мұнымыз-101 не 101нөмірілі билеттердің бірі шықты деген сөз. Бұлардың біріншісіне А₂ оқиғасы оқиғасы сәйкес келсе, екіншісіне А₃ оқиғасы сәйкес келеді. Сонымен, бұл жағдайда р(А₂)=. Ал А₁ оқиғасы пайда болмаса, онда 011және 000 билеттің бірі шыққаны. Бұл жағдайда да р(А₂)= тең. Сонымен, А₂ оқиғасының ықтималдығы А₁ оқиғасының пайда болу болмауына тәуелді болып отырған жоқ. Дәл осылайша, А₃ оқиғасының А₂-ге, А₃ оқиғасының А₁-ге тәуелсіз екенін тексеру қиын емес. Сайыа келгенде, p (А₁),(A₂),(A₃) оқиғалары қос қостан тәуелсіз және

р(А₁A₂)=p(A₁A₃)=p(A₂A₃)=

екенін байқау қиын емес.Алайда

p (А₁A₂A₃)

өйткені барлық үш орында да 1цифры тұратын нөмірлі билет жәшікте жоқ, сондықтан

p (А₁A₂A₃)

Сонымен, оқиғалардың қос –қостан тәуелсіздігін жиынтығына таратуға болмайтынын көрдік.

Бұл аталған теоремалардың мынадай салдарлар шығады.

2-салдар.Егер А оқиғасы В-ге тәуелсіз болса, онда В оқиғасы А-ға тәуелсіз болады.

Шынында А-ның В-ге тәуелсіздік анықтамасы бойынша р_А(B)=p(A). Мұны (1) теңдіктегі р_А(В) орнына қойып, екі жақ бөлігін де р(А)-ға қысқартсақ р(В)=p_A(B) шығады. Демек, бұдан В-ның A-ға тәуелсіздігі шығады. Олай болса, А және В оқиғалары өз ара тәуелсіз.

3-салдар.А мен В тәуелсіз болса, онда (,В),(А,),() қос оқиғалар да біріне-бірі тәуелсіз болады. Мұны (А,) қос оқиғалар үшін дәлелдейік.

Шынында, ұйғару бойынша р_А(В)=p(B), мұның үс- тіне,р_А(В)+p_A()=1. Бұдан р_А()=1-p_A()=1-p(B)=p().

Салдар сонымен дәлелденді. Қалғандарының тәуелсіздігі де осылайша дәлелденеді.

3-мысал. Нысанаға дәл тию ықтималдығы 0.3-ке тең. 2% жарылғыш жарылмай қалса, оқтың нысанадағыны жою ықтималдығы неге тең?

Шешуі. Нысанаға дәл тиюі А оқиғасы, жарылғыштың от алуы В оқиғасы болсын. Сонда нысанаға тиюі мен жарылғыштың от алуы АВ оқиғасы болады. Бұларды тәуелсіз деп ұйғарамыз. Демек, іздеген ықтималдық мынадай

р(АВ)=p(A)p(B)=0.3(1-0.02)=0.294.

4-мысал. Үш оқушы біреуі монетті, екіншісі кубты лақтырды, ал үшіншісі колодадағы 36 картаның кез келген біреуін суырды. Осы жүргізген тәжірибелер нәтижесінде монеттің герб жағымен түсу (А оқиғасы), кубтың 4 ұпаймен түсу (В оқиғасы ), және суырған картаның тұз болып шығу (С оқиғасы ) ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Өткен мысалдарды еске түсірсек,

р(А)=1/2

р(B)=1/6

р(C)=1/9

Сонда іздеген ықтималдығымыз

р(АВС)=p(A)*p(B)*p(C)= 1/2*1/6*1/9=1/108=0,092%