Кіріспе

Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады. Қазіргі уақытта ықтималдылықтар теориясы ғылым мен техниканың алуан түрлі салаларында қолданылып отыр, математиканың көптеген салаларына қарағанда, ерекше орын алып отыр. Ықтималдылықтар теориясының әдістері, оның апараты барлық жаратылыс0тану және техникалық ғылымдар ғана емес, тіпті математикадан алшақ деп ұғынылатын тіл ғылымына, педагогика мен психологияға, сондай-ақ архелогияға да еніп, олардың ішкі құрлыс заңдарын ашып көрсететін пәрменді құралға айналып отыр.

Кибернетиканың негізгі салалары- информациялық теория, ойын теориясы, операция теориясы, сенімділік теориясы т.б. математикалық аппараттары ықтималдылық теориясы негізінде құрылған.

Бұл теория - кездейсоқ құбылыстарды бақылау нәтижесінде пайда болған математикалық ғылым. Бұл ғылым XVII ғасырда пайда болған делінеді. Ал ықтималдықтың бастапқы ұғымдары өте ертедегі заманда –вқ кездеседі. Мәселен, біздің жыл санауымыздан 2238 жыл бұрын Қытайда өткізілген санаққа қарағанда, жаңа туға ұл балалардың санына қатынасы тұрақты және ол сан ½ -ге теғң( яғни ықтималдығы ½) делінген .

Ықтималдылықтар теориясының ғылым ретінде қалыптасуына оның дамуына көптеген шет ел ғалымдары: Б.Паскаль (1623-1662), П.Ферма (1601-1665), Х.Гюйгенс (1629-1695), Я.Бернулли (1654-1705), А.Муавр (1667-1754), Т.Байес (1702-1763), П.Лаплас (1749-1827), Ф.Гаусс (1777-1855), С.Пуассон (1781-1840) орасан зор үлес қосты.Ұлы орыс математигі Пафнутий Львович Чебышевтың (1821-1894) XIX ғасырдың орта кезінде жарық көрген іргелі зерттеулерінен бастап Россияда ықтималдылықтар теориясы пәрменді дамыды. Аса ірі еңбектер сіңіріп, жаңа әрі құнды нәтижеге қол жеткен Россия-Совет ықтималдық теориясын дамытқан Совет ғалымдары: А.АМарков (1856-1922), А.М.Ляпунов (1857-1918), А.Я.Хинчин (1894-1959), А.Н.Колмогоров (1903 жылы туған), С.Н.Бернштейн («1880-1968), В.И.Романовский (1879-1954), В.И.Слуцкий (1880-1948), Б.В.Гнеденко (1912 жылы туған) есімдері жұртшылыққа кеңінен мәлім.

Ықтималдылықтар теориясы мен математикалық статистиканы дамытып, ірі жетістіктерге ие болған ғалымдардың бірі- Ташкент математика мектебінің негізін қалаушы В.И.Романовский. Көрнекті ғалымдар Т.А.Сарымсақов (1915 жылы туған), С.Х.Сираждинов (1920 жылы туған) сияқты, В.И.Романовскийдің басқа да шәкірттері бұл ғылымның өркендеуіне елеулі үлес қосып келеді.

§1. Комплексті шарт, сынау, оқиға, жағдайлар.

Бұл ұғымдарды түсіндіру үшін мысалдарға жүгінейік.

1-мысал. Басбармағымыздың үстіне монетті қойып, оны қаттырақ ыршытып жіберейік. Монет жоғары ыршып, бетті тегіс еденге түседі де, дөңгелеп барып бір жағымен жатады.Сайып келгенде монеттің жерге жалпағынан түсуі үшін, көптеген қимыл-әрекеттер жасалынды, бұлардың жиынын комплексті шарт деп атайды. Ал лақтырылған монеттің тиын (не герб) жағымен жоғар қарап түсуі осы комплексті шарттың орындалуының нәтижесі болады. Мұны оқиға деп атайды.

2-мысал.Бір тектес материалдан жасалған симетриялы дұрыс кубтың әрбір жағын 1-ден 6-ға дейінгі цифрлармен нөмірлейік. Оны бір рет лақтырғанда (комплексті шарт орындалғанда) 6 жағының бірі жоғары қарап түседі, қай жағы (нөмірі) түссе де мұнымыз оқиға болады.

3-мысал. Сынап бағанасының 760мм қысымда суды 100⁰С дейін қайнатсақ, ол буға айнала бастайды. Судың буға айналуы оқиға болады да, ал сол бу пайда болғанға дейінгі барлық әрекеттер жиыны комплексті шарт болып табылады.

Комплексті шарт деген терминнің орнына сынау, тәжірибе, эксперимент терминдерін де пайдаланады. Біз көбінесе сынау терминін қолданатын боламыз. Бұдан былай сынау нәтижесін оқиға деп түсінетін боламыз. Әдетте оқиғаларды А,В,С, ... бас әріптермен белгілейді.

Бұл мысалдардан біз сынау жүргізілгенде монет (куб) жерге бір бетімен түскенде, оның екінші бетінің жоғары қарап түспейтінін байқап отырмыз. Мұндай рқиғаларды, яғни сынау жүргізген кезде бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болмайтын нәтйжелерді (оқиғаларды)жағдайлар дейміз. Оларды А₁,А₂, ...,А_n әріптерімен белгілейміз. Осы сыналынатын жағдайлардың барлық (жалпы) санын n-мен белгілейміз. Мысалы, моменті лақтырғандағы жағдайлар саны n=6 болады.

§2. Оқиғалар классификациясы

Сынау жүргізгенде А оқиғасы пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін болса, ондай оқиғаны кездейсоқ оқиға дейді.

Мұндай оқиғаларға моентті лақтырғанда тиын жағымен жоғар қарап түсуі (А оқиғасы), кубты лақтырғанда алты жағының бірінің жоғары қарап түсуі (А оқиғасы) т.т. мысал бола алады. Өйткені қай жағдайдың шығатынын алдын ала айта алмаймыз.

Сынау нәтижесінде оқиға (А оқиғасы) сөзсіз пайда болатын (пайда болмайтын) болса, ондай оқиғаны ақиқат (мүмкін емес) оқиға дейді. Кубты лақтырғанда алты нөмірінің бірі (7-ші нөмірлі жағы) үстіне қарап түсуі (А оқиғасы)- ақиқат (мүмкін емес) оқиға. Ақиқат оқиғаларды U әрпімен, мүмкін емес оқиғаларды V әрпімен белгілеу қабылданған.

Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болмайтын екі оқиғаны үйлесімсіз оқиғалар дейді. Мәселен, 1-параграфтағы екінші мысалда А₁, А₂ (бірінші және екінші нөмірлі жақтар) оқиғалары- үйлесімсіз оқиғалар. Бұл мысалдағы кез келген екі-екіден алынған оқиғалар да үйлесімсіз.

Кез келген екі-екіден алынған оқиғалар үйлесімсіз болса, ондай оқиғаларды қос-қостан үйлесімсіз дейді.

Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда екіншісінің де пайда болуы мүмкін болатын екі оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атайды. Мысалы, кубтың жұп нөмірінің шығуы (А оқиғасы) және үш санына еселік нөмірдің шығуы (В оқиғасы) үйлесімді. Өйткені кубтың 6-нөмірінің шығуын көрсететін А₆ оқиғасы А оқиғасы пайда болғанда да, В оқиғасы пайда болғанда да пайда болуы мүмкін.

Сынау нәтижесінде оқиғалардың тек әйтеуір біреуінің сөзсіз пайда болуы ақиқат болса, ондай оқиғаларды жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар дейді. Мысалы, сынау нәтижесінде кубтың алты жағының біреуі (А оқиғасы) шығуы сөзсіз, сондықтан А_1, А_2, А_3, А_4, А_5,А₆ оқиғалары жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар, бұлар оқиғалардың толық тобын (системасын) құрайды деп атайды. Сондықтан бұл оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық системасын құрайды.

Жаттығулар

• Екі жақ болып дойбы ойыны өткізілді. Бір жағының ұтуы, ұтылуы немесе екі жақтың тең түсуі- кездейсоқ оқиға.

• Мұғалімнің белгілі бір оқушыдан сұрауы-сынау. Оқушының5,4,3,2 баға алуы- кездейсоқ оқиға.

• Ауа райын бақылау –сынау. Бүгін қар, жаңбыр жаууы- кездейсоқ оқиға.

• Оқушының тәртібін бақылау сынау. Оның сабаққа кешігіп келуі –кездейсоқ оқиға .

• Нысананы көздеп ату- сынау. Нысанаға тию (А оқиғасы) не тимеу (В оқиғасы)- кездейсоқ оқиға. Осы мысалдағы мәлімет бойынша оқиғалардың толық тобын сипаттап беріңіз.

• 4-класс математика кітабының кез-келген бетін ашу –сынау. Осы бетте «жиын» сөзінің кездесуі-кездейсоқ оқиға. Бұл беттегі сөздер қай жағдайда оқиғалардың толық тобын құрайды?

• Мына төмендегі оқиғалардың қайсысы кездейсоқ, ақиқат, мүмкін емес болады: 1) бірінші кездескен автомашина нөмірінің жұп болып келуі қандай оқиға? 2) жәшіктің ішінде ылғи ақ шарлар бар. Кез келген бір шар алынды, оның түсі: а) қызыл болуы, б) ақ болуы қандай оқиға болады?

• 1-ден 20-ға дейінгі сандарды 20 карточкаға жазып алып , оларды әбден араласьырып барып, ішінен 2 карточканы алғанда төмендегі қос сандар (оқиғалар) шықты; олар үйлесімді ме әлде үйлесімсіз бе:

1)4және7 сандары;

2) жұп және 15 сандары;

3) тақ және 3-ке еселік сандар;

4) жай сан және 5-ке еселік сандар?