Звено №2

или

.

Следовательно, второе звено не устойчиво.

Вывод: фильтр не устойчив.

2.10. Коэффициенты системной функции устойчивого звена второго порядка

Системная функция звена второго порядка определяется соотношением

.

Фильтр реализуется в виде звеньев второго порядка в случае комплексно-сопряженных корней, т.е. при

. (*)

В этом случае корни уравнения определяются следующим соотношением

.

Из последнего соотношения находим

.

Условием устойчивости звена является

.

Поэтому коэффициент A₂ устойчивого звена второго порядка должен удовлетворять условию

Из последнего неравенства и неравенства (*) следует

2.11. Нерекурсивный фильтр с линейной ФЧХ

Нерекурсивный фильтр с линейной ФЧХ

Особенность фильтра: коэффициенты системной функции b симметричны относительно середины линии задержки.

Выходной сигнал фильтра определяется следующим соотношением

.

Выразим Z – преобразование выходного сигнала фильтра через Z – преобразование входного сигнала

Разделив Y(z) на X(z), найдем системную функцию

.

Найдем комплексный коэффициент передачи фильтра, используя подстановку .

.

Обозначим

где

Тогда АЧХ и ФЧХ фильтра (без приведения в интервал от -π до π ) определятся следующими соотношениями

,

.

Так как второе слагаемое в выражении для ФЧХ - константа (0 или π), ФЧХ этого фильтра является линейно-ломаной. Линейность ФЧХ обусловлена симметрией коэффициентов системной функции относительно середины линии задержки (симметрией импульсной характеристики фильтра).

2.12. Синтез нерекурсивного фильтра с линейной ФЧХ методом ряда Фурье и «окна»

Задачей синтеза фильтра является определение коэффициентов его системной функции при заданных требованиях к АЧХ. В случае фильтра с линейной ФЧХ и АЧХ, определяемой рядом косинусов этими коэффициентами являются коэффициенты .

Функция , определяющая АЧХ фильтра, является периодической функцией с периодом 2π.

Пусть требуется выполнить синтез ФНЧ, у которого функция A(θ) стремится к функции D(θ) в интервале изменения θ от –π до π.

Рисунок – Идеальная АЧХ ФНЧ

Разложение функции D(θ) в ряд Фурье позволяет определить коэффициенты

,

где m = 1,2 ..K.

При θ₀ = π / 2, K=3

b₀ = 0.5, b₁=1/π, b₂ = 0, b₃ = - 1/(3 π)

Рисунок– Функция и АЧХ К(θ) при θ₀ = π / 2, K=3

Вместе с графиком реальной АЧХ K(θ) показана идеальная прямоугольная АЧХ D(θ). При K=3 эти характеристики сильно отличаются друг от друга. Особенностью АЧХ являются пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания.

Рисунок– АЧХ фильтра с линейной ФЧХ

при θ₀ = π / 2, K = 10

Рисунок– АЧХ фильтра с линейной ФЧХ

при θ₀ = π / 2, K = 20

Увеличение длины линии задержки (уменьшение количества отбрасываемых членов разложения Фурье), делая АЧХ более прямоугольной, не устраняет пульсации АЧХ.

С увеличением длины линии задержки частота пульсаций увеличивается, однако максимальный уровень первого бокового лепестка в полосе задерживания остается практически неизменным и равным 0.1.

Пульсации АЧХ вблизи точек разрыва функции, связанные с ограничением членов разложения в ряд Фурье, получили название явления Гиббса.

Для уменьшения пульсаций рядом специалистов по цифровой обработке сигналов было предложено использование так называемых «оконных функций».

Сущность метода состоит в следующем: вместо коэффициентов системной функции b_m используют коэффициенты

,

где - m-ый отсчет оконной функции.

Простому ограничению ряда Фурье соответствует прямоугольное окно

Таблица3.1.

Функции окна

Название окна	Функция окна
Окно фон Ганна (приподнятый косинус)
Окно Хемминга
Окно Блэкмана
Окно Ланцоша	, где L - целое число

Рисунок– АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀ = π / 2, K=10 и сглаживанием пульсаций функцией Хемминга

Рисунок 3.34 – АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀ = π / 2, K=20 и сглаживанием пульсаций функцией Хемминга

Вывод:

Применение оконных функций приводит к существенному (примерно на 40 дБ) ослаблению пульсаций, но и к расширению переходной полосы между полосой пропускания и полосой задерживания фильтра.

Описанный метод синтеза рассмотрен на примере фильтра нижних частот. Однако его нетрудно распространить на фильтры других типов.

Например, АЧХ полосового фильтра с граничными значениями полосы θ₁ и θ₂ можно представить в виде разности АЧХ ФНЧ.

Рисунок– Представление АЧХ полосового фильтра в виде разности АЧХ ФНЧ

D(θ)=D₂(θ) – D₁(θ)

Такое представление АЧХ позволяет определить коэффициенты разложения в ряд Фурье b_m как разность соответствующих коэффициентов разложений в ряд Фурье АЧХ ФНЧ

Аналогичным образом находятся коэффициенты разложения для режекторного фильтра (РФ) и фильтра верхних частот (ФВЧ)

Оконные функции используютcя при синтезе всех типов фильтров одинаково.

Таблица. Коэффициенты разложения в ряд Фурье функции,

определяющей АЧХ фильтра

Тип фильтра	Коэффициенты bn
ФНЧ
ФВЧ
ПФ
РФ

2.13. Синтез нерекурсивных фильтров с линейной

ФЧХ методом наименьших квадратов

На рисунке приведена функция D(θ) - идеальная АЧХ полосового фильтра в полосе пропускания и полосе задерживания и функция A(θ), описывающая реальную АЧХ.

Функция A(θ) и функция D(θ), описывающая

идеальную АЧХ