2.4. Системная функция цифрового фильтра. Формы программной реализации фильтра

Системной функцией цифрового фильтра называется отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала

.

Y(z) = H(z) X(z),

где .

Системная функция H(z) представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра.

Полюсом системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) стремится к бесконечности.

Нулем системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) равна нулю.

Формы программной реализации фильтра:

1. Прямая форма

Рисунок 2.5 – Прямая форма программной реализации фильтра

(2.8)

. (2.9)

Системная функция цифрового фильтра в общем случае представляет собой дробно-рациональную функцию. Полином числителя описывает нерекурсивную часть фильтра, а полином знаменателя – рекурсивную.

Чтобы найти нули системной функции, нужно полином числителя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Чтобы найти полюсы системной функции, нужно полином знаменателя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Знаки перед коэффициентами A в выражении для системной функции и в разностном уравнении (2.8) противоположны.

2.Каноническая форма.

Каноническая форма программной реализации фильтра

Достоинством канонической формы является в два раза меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.

Представив системную функцию фильтра в виде произведения или суммы системных функций второго порядка, представим фильтр в виде последовательного или параллельного соединения звеньев второго порядка.

,

где L – порядковый номер звена, L_max – максимальное значение номера звена

При четном N фильтр состоит из N/2 звеньев второго порядка, при нечетном N фильтр состоит из одного звена первого порядка и (N-1)/2 звеньев второго порядка.

Системная функция звена первого порядка отличается от системной функции звена второго порядка тем, что коэффициенты B₂ и A₂ равны нулю.

Последовательное (а) и параллельное (б) соединение

звеньев фильтра

Типовое звено второго порядка

2.5.Частотная характеристика цифрового фильтра

Комплексным коэффициентом передачи фильтра является отношение комплексной амплитуды выходного сигнала фильтра к комплексной амплитуде входного синусоидального сигнала

.

Частотной характеристикой цифрового фильтра называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты.

.

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

.

Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации (рисунок 2.5) комплексный сигнал с единичной амплитудой

.

Согласно определению комплексного коэффициента передачи комплексный выходной сигнал должен быть равен

.

Выходной комплексный сигнал фильтра определяется следующим соотношением

Из последнего соотношения получим

Сравнивая последнее соотношение с выражением для системной функции цифрового фильтра, можно сформулировать правило определения комплексного коэффициента передачи при известной системной функции фильтра: для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на :

,

где - нормированная частота – отношение текущей частоты f к частоте дискретизации F_Д.

2.6.Устойчивость цифровых фильтров

Рассмотрим критерии устойчивости цифровых фильтров.

1.Критерий «ОВ-ОВ» («Ограниченный вход – ограниченный выход»)

Цифровой фильтр устойчив, если при ограниченном входном сигнале выходной сигнал фильтра также ограничен.

Условие ограниченности входного сигнала определяется соотношением

,

где , а условием ограниченности выходного сигнала является

.

.

Абсолютное значения отсчетов выходного сигнала удовлетворяет неравенству

.

При

справедливо неравенство

.

Следовательно,

.

Таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия , достаточно выполнить условие

.

Цифровой фильтр устойчив, если сумма абсолютных значений отсчетов его импульсной характеристики конечна.

Из этого критерия следует, что все фильтры с конечной импульсной характеристикой абсолютно устойчивы.

3.Критерий оценки устойчивости по системной функции фильтра

.

Модуль системной функции удовлетворяет неравенству

.

При

справедливо неравенство

.

При и при модуль системной функции . Последнее соотношение означает, что в устойчивом цифровом фильтре должны отсутствовать полюсы системной функции в области комплексной переменной z, которая удовлетворяет неравенству .

Следовательно, если полюсы существуют, то в устойчивом фильтре они должны располагаться в области комплексной плоскости, для которой выполняется условие .

Поэтому критерий устойчивости, связанный с системной функцией фильтра, формулируется следующим образом: цифровой фильтр устойчив, если полюсы системной функции располагаются внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат .

2.7. Коэффициенты системной функции устойчивого звена второго порядка

Системная функция звена второго порядка определяется соотношением

.

Для определения полюсов системной функции приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

Фильтр реализуется в виде звеньев второго порядка в случае комплексно-сопряженных корней, т.е. при

. (*)

В этом случае корни уравнения определяются следующим соотношением

.

Из последнего соотношения находим

.

Условием устойчивости звена является

.

Поэтому коэффициент A₂ устойчивого звена второго порядка должен удовлетворять условию

. (**)

Из неравенств (*) и (**) следует неравенство для коэффициента A₁

2.5. Частотная характеристика цифрового

фильтра

Частотной характеристикой цифрового фильтра называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты

.

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

.

Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации (рисунок 3.5) комплексный сигнал с единичной амплитудой

.

Согласно определению комплексного коэффициента передачи выходной сигнал должен быть равен

.

При прямой реализации фильтра выходной сигнал фильтра определяется следующим соотношением

.

Из последнего соотношения получим

Сравнивая последнее соотношение с выражением для системной функции цифрового фильтра, можно сформулировать правило определения комплексного коэффициента передачи, если известна системная функция фильтра: для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на

, где .

2.6. Цифровой резонатор

Цифровой резонатор представляет собой звено второго порядка, у которого коэффициенты системной функции B₁ и B₂ равны нулю.

Цифровой резонатор

Системная функция резонатора описывается следующим соотношением

.

Определим полюсы системной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

,

.

В цифровом резонаторе должно выполняться условие

.

Поэтому полюсы системной функции являются комплексно-сопряженными и определяются следующим соотношением

, где .

Полюсы системной функции z₁ и z₂

На рисунке показаны полюсы системной функции резонатора на комплексной плоскости z. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат является геометрическим местом точек, для которых выполняется условие

.

При изменении θ от 0 до π частота изменяется от 0 до F_Д / 2. При этом конец вектора перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние конца этого вектора от полюса системной функции минимально при , т.е. при , где - резонансная частота резонатора.

Подставляя в последнее соотношение θ₀ получим

.

Из последнего соотношения видно, что резонансная частота зависит от частоты дискретизации F_Д и коэффициентов системной функции A₁ и A₂. При A₁=0 резонансная частота равна четверти частоты дискретизации, при A₁<0 резонансная частота меньше четверти частоты дискретизации, а при A₁> 0 – больше четверти частоты дискретизации.

Определим комплексный коэффициент передачи резонатора при A₁=0.

Подставляя в выражение для системной функции , получим

.

Последнее соотношение позволяет определить АЧХ и ФЧХ резонатора:

,

.

На резонансной частоте при резонансный коэффициент передачи равен

АЧХ резонатора при =0.9, =0, M=1-

ФЧХ резонатора при =0.9, =0

АЧХ резонатора при A₂ =0.99, A₁=0, M=1-A₂

ФЧХ резонатора при A₂=0.99, A₁=0

Сравнение характеристик при разных значениях коэффициента А₂ показывает, что при стремлении А₂ к единице полоса пропускания резонатора уменьшается (резонанс становится более острым) и увеличивается крутизна ФЧХ вблизи резонансной частоты.

Для выяснения влияния коэффициента А₁ на свойства резонатора рассмотрим АЧХ и ФЧХ при А₁<0 и при A₁>0.

АЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁= -0.9, M=1-A₂

ФЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁= -0.9

AЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁= 0.9, M=1-A₂

ФЧХ резонатора при A₂=0.9, A₁=0.9

Из приведенных рисунков видно, что коэффициент А₁ сильно влияет на резонансную частоту резонатора. В результате АЧХ и ФЧХ сдвигаются вдоль оси частот. При этом нарушается симметрия АЧХ, становятся различными абсолютные значения максимального и минимального фазового сдвигов, вносимых резонатором, изменяется максимальное значение коэффициента передачи.

2.7. Однородный фильтр

Однородным называется нерекурсивный фильтр, у которого все коэффициенты системной функции одинаковы. Этот фильтр называют также фильтром скользящего среднего.

Однородный фильтр второго порядка

Из рисунка видно, что выходной сигнал фильтра определяется следующими соотношениями

Определим Z-преобразования последовательностей v_n и y_n

Определим системную функцию фильтра

.

Используя подстановку , определим комплексный коэффициент передачи

Обозначим

.