4.4. Алгоритм бпф с прореживанием по частоте

Пусть имеется исходная N - точечная последовательность x_n , где N = 2^M. Разобьем члены этой последовательности на две группы. В первую включим первую половину членов исходной последовательности, а во вторую группу - вторую половину. Из первой группы образуем последовательность x1_m , а из второй - последовательность x2_m.

Индексы последовательностей x_n и x1_m связаны соотношением n = m, а индексы последовательностей x_n и x2_m - соотношением n = N/ 2 + m.

Тогда

Рассмотрим отдельно четные и нечетные отсчеты спектра (отсюда и название алгоритма: прореживание по частоте).

Для получения четных отсчетов спектра положим

k = 2 i, где i = 0, 1, 2, . . N /2 -1.

В результате получим

.

Для получения нечетных отсчетов спектра положим

k = 2i + 1, где i = 0, 1, 2, . . N/2-1.

Тогда

Два последних соотношения представляют собой

N / 2 - точечные ДПФ последовательностей и

Образовавшиеся после первого разбиения блоки ДПФ подвергаются дальнейшему разбиению подобно тому, как это делалось в предыдущем алгоритме с прореживанием во времени.

Оба алгоритма равноценны.

4.5. Вейвлет-преобразование

4.5.1. Вейвлет-преобразование аналогового сигнала

Недостатком прямого преобразования Фурье при анализе спектра сигнала является невозможность оценить характер изменения спектра во времени, т.к. при определении спектральной плотности интегрирование по времени осуществляется в пределах от

.

Сигнал в виде суммы двух синусоидальных колебаний, действующих одновременно, и его спектр

Сигнал, образованный двумя синусоидальными колебаниями, действующими поочередно, и его спектр

Из сравнения последних рисунков следует, что сигналы, существенно отличающиеся друг от друга, имеют практически одинаковый спектр, полученный методом ДПФ.

Этот недостаток частично устраняется при использовании оконного преобразования Фурье, которое определяется следующим соотношением

,

где - оконная функция, - временной сдвиг оконной функции относительно начала координат (t = 0).

Анализируемый сигнал и оконная функция

Типичной оконной функцией является функция Гаусса

.

С помощью оконной функции оценивается спектр сигнала на ограниченном временном интервале, а перемещение окна позволяет выявить временные характеристики спектра.

Однако при использовании оконного преобразования Фурье возникает проблема выбора ширины окна. При малой ширине окна получается хорошее временное разрешение, но плохое частотное, при широком окне – наоборот.

Возможности изменения ширины окна это преобразование не предоставляет. Кроме того базисными функциями оконного преобразования, как и обычного преобразования Фурье остаются гармонические функции, которые хорошо описывают плавно изменяющийся сигнал, но плохо приспособлены для выделения скачков сигнала.

Указанных недостатков лишено вейвлет-преобразование. Непрерывное вейвлет-преобразование аналогового сигнала x(t) определяется следующим соотношением

,

где - вейвлет.

В обозначении функции нижний индекс x соответствует анализируемой функции x(t), а верхний индекс – вейвлету .

Слово «вейвлет» означает маленькая волна. Эта волна имеет конечную длительность и может рассматриваться как оконная функция.

Параметры этой функции:

- параметр сдвига относительно начала координат,

s – параметр масштаба, определяющий ширину вейвлета. Большие значения масштаба позволяют получить глобальное представление о сигнале, а малые значения позволяют различать детали.

При и s = 1 вейвлет называется материнским вейвлетом

Материнский вейвлет должен удовлетворять условию

Существует большое количество различных вейвлетов.

Вейвлет “Мексиканская шляпа” при разных значениях

параметра s

Вейвлет “Мексиканская шляпа” при разных значениях

параметра

Процедура анализа сигнала стартует с масштаба s = 1. Вейвлет сначала помещается в начало координат, умножается на сигнал и результат умножения интегрируется на всем временном интервале. Затем он сдвигается вправо на величину τ и описанная процедура повторяется. Затем масштаб увеличивается и снова осуществляется перемещение вейвлета вдоль оси времени.

Значение s = 1 соответствует сжатому вельвету и позволяет выявить высокочастотные составляющие сигнала. Большие значения масштаба выделяют низкочастотные составляющие сигнала.