§5. Расчёт трёхшарнирных арок на неподвижную и подвижную нагрузки

Арка – это криволинейный брус, опирающийся на массивные опоры.

Трёхшарнирной аркой называется конструкция из двух криволинейных дисков, соединенных между собой и с Землей шарнирами. Ось арки очерчивают по дуге окружности или квадратной параболе, имеющей следующее уравнение:

г де - стрела подъёма, т.е. расстояние от уровня опор до среднего шарнира; - пролёт арки, т.е. расстояние между опорами.

t

касательная

y φ_k q

C P

нормаль

O_k

f

l

x_k

H_B

V_A

V_B

φ_k A H_A y_k B x

При перекрытии больших пролётов арки более экономичны по расходу материала, чем балки, но они более трудоёмки по изготовлению из-за своей криволинейности. Трёхшарнирные арки – это классический пример соединения трех дисков в неизменяемую конструкцию. В ней возникают 4 реакции: две вертикальные составляющие V_A, V_B и две горизонтальные составляющие H_A, H_B, которые называются распором. Благодаря наличию ключевого шарнира С, такая арка статически определима, т.к. можно составить 4 уравнения равновесия:

Правильность вычислений можно проверить по уравнениям . При воздействии на арку только вертикальных нагрузок горизонтальные реакции равны друг другу, т.е. H_A=H_B=H.

В поперечных сечениях арки возникает 3 силовых фактора: изгибающий момент М, поперечная сила Q и продольная сила N. Наибольшую опасность представляет изгибающий момент, но продольная сила в арках также оказывает существенное влияние на напряженное состояние. Поперечная сила – это наименее влияющий на прочность фактор.

Вычислим внутренние усилия в произвольном сечении K-K, центр тяжести которого точка О_к имеет координаты x_k, y_k. Используем метод сечений и правило знаков: изгибающий момент и поперечная сила как для балок, продольная сила считается положительной при сжатии.

Сравнивая арку с балкой, замечаем, что во внешнесиловом плане арка отличается наличием распора, отсутствующего в балке. Во внутреннесиловом плане арка отличается количеством внутренних усилий: 3 в арке и 2 в балке. В геометрическом плане различие состоит в том, что в балке поперечное сечение параллельно оси y, а в арке оно составляет некоторый угол φ_к с осью y.

y k P

O_k^’

q х

х_к

k

V_A V_B

Для балки имеем следующие выражения внутренних усилий:

Для арки выбираем местную систему координат: ось t направляем по касательной к геометрической оси арки, ось n – по нормали к геометрической оси. Используя балочные выражения внутренних усилий и учитывая силовое и геометрическое отличия арки от балки, получаем:

Из первых 2 выражений замечаем, что изгибающий момент и поперечная сила в любом сечении арки меньше балочных значений.

Для построения эпюр внутренних усилий в арке необходимо предварительно построить эпюры для балки и вычислить в характерных сечениях угол φ, образованный касательной t и осью x.

Линии влияния для внутренних усилий в сечениях арки можно построить двумя способами. Первый – это способ наложения, в котором используются полученные выше формулы. Мы знаем как строятся линии влияния Q_б и М_б. Распор H вычислим из условия, что изгибающий момент в ключевом шарнире арки равен нулю.

Чтобы построить линию влияния распора, необходимо построить линию влияния балочного момента для сечения С и разделить ее на стрелу подъема f.

Для построения линии влияния изгибающего момента, необходимо из линии влияния балочного момента вычесть линию влияния распора, увеличенную в y_к раз.

Для построения линии влияния поперечной силы, необходимо из линии влияния балочной поперечной силы, умноженной на , вычесть линию влияния распора, умноженную на .

Для построения линии влияния продольной силы необходимо к линии влияния балочной поперечной силы, умноженной на , прибавить линию влияния распора, умноженную на .

Второй способ называется способом трёх нулевых точек. Он заключается в поиске таких точек на арке, при положении в которых единичной силы, исследуемое внутреннее усилие обращается в ноль. Две нулевые точки для всех внутренних усилий очевидны – это точки опирания арки A и B. Положение третьей точки зависит от вида внутреннего усилия.

а ) линия влияния изгибающего момента

О

k C

D

первая правая прямая

Левая прямая

x_k

Л.в. M_к

x_k

a

b

d

вторая правая прямая

A R_A y_k R_B B

Рассмотрим положение силы на участке KC. Определим направления реакций R_A и R_B. Так как на правой половине арки CB отсутствуют активные нагрузки, то момент в шарнире С будет равен нулю в том случае, если реакция R_B будет проходить через центр шарнира (плечо равно нулю). Так как на участке AK отсутствуют активные нагрузки, то изгибающий момент в сечении К будет равен нулю в том случае, если реакция R_A будет проходить через центр сечения K (плечо равно нулю). Три силы R_A, R_B и , действующие на арку, будут находиться в равновесии, если они пересекаются в одной точке. Находим точку пересечения реакций R_A и R_B (т.О) и по вертикали, проходящей через точку О, прикладываем силу к точке D арки. Проецируем точку D на базисную линию, в результате получаем третью (основную) нулевую точку d. Базисной ординатой, аналогично балкам, является отрезок x_k, откладываемый от т. а базисной линии. На линию, соединяющую отрезок x_k и точку d, проецируем сечение K и ключевой шарнир C. В результате получаем отрезок кс, который образует первую правую прямую. Соединяя точку с с точкой b, получаем вторую правую прямую сb. Соединяя точку к с точкой а, получаем левую прямую ас.

б) линия влияния поперечной силы

O C

k D

B

A

R_A φ_k R_B

Л.в. Q_k

k₁

d

левая прямая

первая правая прямая

вторая правая прямая

С

a k₂ b

Сила расположена на участке KC. Реакцию R_B направляем через шарнир С. Реакцию R_A направляем перпендикулярно поперечному сечению (в таком случае R_A не создаст поперечной силы). Через точку пересечения R_A, R_B прикладываем единичную силу . Проецируя точку D на базисную линию, получаем нулевую точку d. В качестве базисного отрезка откладываем , который стоит множителем при балочной поперечной силе Q_б. Соединяем прямой ординату базисного отрезка и нулевую точку d и проецируем на нее сечение К и ключевой шарнир С. В результате получаем первую правую прямую k₁с. Соединяя точку с с точкой b, получаем вторую правую прямую. Из точки а проводим прямую, параллельно k₁с до пересечения с вертикалью (точка k₂), в результате чего получаем левую прямую ak₂ (при переходе силы через сечение К должен образовываться скачок ∆Q=1* ).