§4. Расчёт простых ферм на неподвижную и подвижную нагрузки

Простыми называют фермы, образованные геометрически неизменяемыми треугольними дисками. Фермы исторически появились как альтернатива многопролётных балок для перекрытия больших расстояний, когда нет возможности для сооружения промежуточных опор. Как уже отмечалось, высота тонкостенной балки пропорциональна квадрату её пролёта.

III III

P I P P Верхний пояс

H_A

d- панель

l – пролет фермы

Нижний пояс

A B

R_A R_B

Полка

h Стенка

l b

Вследствие большой высоты, тонкая стенка, предназначенная для восприятия поперечной силы, может потерять устойчивость плоской формы изгиба, а её усиление становится не экономичным. В результате анализа появилась решётчатая балка, названная фермой (французское происхождение). Элементы фермы имеют следующие названия:

• Расстояние между опорами – пролет фермы l;

• Расстояние между соседними узлами по горизонтали – панель фермы d;

• Наибольшее расстояние между узлами по вертикали – высота фермы h;

• Наружные горизонтальные или наклонные стержни образуют нижний и верхний пояса фермы (пояса фермы воспринимают в основном изгибающие моменты в сечениях);

• Вертикальные стержни называются стойками;

• Внутренние наклонные стержни называются раскосами. Раскос, поднимающийся снизу вверх, называют восходящим, а раскос, опускающийся сверху вниз – нисходящим (стойки и раскосы воспринимают в основном поперечные силы в сечениях ферм).

Фермы, в отличии от балок, могут воспринимать только сосредоточенные силы P. Если имеется распределенная нагрузка q, то она с помощью плит перекрытия или поперечных и продольных вспомогательных балок передается на узлы фермы: P=qd.

В результате приложения сосредоточенных сил P к шарнирным узлам в элементах ферм возникают только продольные силы N. Особую опасность представляют сжимающие силы, неправильный учёт которые может привести к потере устойчивости стержня и разрушению всей фермы.

Продольные силы в стержнях определяют методом сечений, используя три способа: моментной точки; проекций; вырезания узлов. Рассматривают равновесие отсечённой части фермы, находящейся под воздействием внутренних усилий в стержнях рассечённой панели N_i и части активных и реактивных нагрузок . Реакции определяют из равновесия всей фермы.

Рассмотрим пример.

I

I III III

II

II 1

4

3

2

P P P

5

P₁ h₀

A B

l=4d

V_A d d d d V_B

Находим опорные реакции:

Определим усилия в стержнях, принадлежащих второй панели. Чтобы найти усилия в стержнях 1,2,3 проведем сечение I-I и рассмотрим равновесие левой части фермы, к которой приложено меньшее число сил (к левой 3 силы, к правой – 4 силы).

O₂

N₁

P

r₂

r_A

N₃

H_A A

V_A

r_V

O₃

N₂

r₃

N₁

O₁

Используем способ моментной точки. Для определения N₁ выбираем моментную точку O₁, в которой пересекаются два других усилия N₂ и N₃. Из этой точки опускаем перпендикуляр на направление усилия N₁. Длина этого перпендикуляра r₁ есть плечо силы относительно центра О₁. Составим уравнение равновесия отсечённой части

– верхний пояс сжат.

Для определения N₂ выбираем моментную точку О₂, в которой пересекаются два других усилия N₁ и N₃.

отсюда находим усилие N₂, которое получается положительным. Следовательно, нижний пояс фермы растянут.

Для определения N₃ выбираем моментную точку О₃ на пересечении N₁и N₂.

отсюда находим N₃.

Если пояса фермы параллельны и моментная точка для раскоса находится в бесконечности, используют способ проекций, проецируя все силы на ось, перпендикулярную поясам.

y N₁

N₃ N₂

Д ля определения усилий в стойках используем способ вырезания узлов. Необходимо так провести сечение, чтобы в вырезанном узле сходилось не более двух неизвестных усилий и составить 2 уравнения проекций. Например, проведем сечение II-II и рассмотрим узел. Выберем ось Из геометрических соображений найдем углы α₄, α₁.

Составим уравнения проекций:

Отсюда находим усилие N₄ со знаком «-». Чтобы найти усилие N₅ проведем сечение III-III и рассмотрим равновесие центрального узла.

- усилие в стойке, принадлежащей нагруженному узлу равно нулю.

P N₁

α₁

N₆ α₄

y y₆

N₅

x

N₂ N₇

Л инии влияния опорных реакций и усилий в элементах ферм строятся аналогично балкам, т.е. с использованием уравнений равновесия и метода сечений. Для построения линий влияния N₁, N₂, N₃ проведем сечение I-I.

I O₂

O₁ 2 N₂^п I N₂^{^}

Л.в. R_A

R_A R_B

Л.в. R_B

1 0

Л.в. N₁

Правая прямая

Левая прямая

1

Передаточная прямая

Л.в. N₄

Правая прямая

Передаточные прямые

1

Рассмотрим два положения единичной силы:

1. Единичная сила слева от сечения I-I. Из равновесия правой части находим

Откладываем под опорой B отрезок и соединяем с нулём под опорой А. Проецируем узел, примыкающий к сечению слева. Получаем левую прямую.

2. Единичная сила справа от сечения I-I. Из равновесия левой части находим

Откладываем под левой опорой отрезок и соединяем с нулем под опорой B. Проецируем узел, примыкающий к сечению справа. Получаем правую прямую. Соединяем левую и правую прямые передаточной прямой.

Аналогично строятся линии влияния усилий N₂ и N₃.

Построим линию влияния усилия в стойке N₄. Рассмотрим равновесия узла в двух случаях:

1. Е диничная сила отсутствует в узле.

N₁

α₁

N₆ α₄

N₄ y₆

2. Единичная сила приложена к узлу.

Вначале строим перевернутую вверх и уменьшенную в раз линию влияния N₁. Из ординаты в вершине треугольника вычитаем, откладывая вниз, отрезок 1. Сносим на левую прямую опорный узел, а на правую прямую средний узел фермы (соответственно левый и правый узлы, примыкающие к рассматриваемому узлу). Соединяем полученные точки с точкой на рассматриваемом узле, найдя тем самым передаточные прямые (левая прямая в данном случае выродилась в точку под опорой).