§2. Линии влияния для простых балок

При всем многообразии внешних нагрузок их можно разделить на два вида по признаку геометрической связи с сооружением. Нагрузки делятся на неподвижные и подвижные. Неподвижные нагрузки, как правило, носят стационарный характер как по величине и направлению, так и по своему положению на сооружении(рис.). Однажды появившись стптически (медленно) при скорости деформации меньше чем 0,01 мин^-1, эти нагрузки в дальнейшем имеют постояннное значение (рис.а).

F

1

- 1

t

а) б) в)

Статическую нагрузку будем обозначать индексом……, а стационарную- индексом

Чтобы подчеркнуть статический характер нагрузки, будем обозначать ее .

Подвижные нагрузки не изменяют своего значения во времени, постоянны по направлению, но изменяют свое положение на сооружении (рис.в).

Происхождение этих нагрузок связано с наличием подвижного состава: автомобилей и поездов на мостах, кранов на подкрановых балках и др.

Чтобы оценить прочность отдельных элементов сооружений, таких как балки, колонны и т.п., испытывающих действие неподвижных нагрузок, строят эпюры внутренних усилий: продольных и поперечных сил, изгибающих и крутящих моментов. Например, балка разбивается на грузовые участки и в каждом из них вводится текущее сечение, изменяющее свое положение(рис. б).

Эпюрой называется график, показывающий, как изменяется исследуемый фактор при неподвижной нагрузке в зависимости от наложения сечения:

₁

z_{1 2} z₂

a b

+

-

_{1 2}

A O₁ O₂ B

R_A R_B

Эпюра Q

Эпюра М

Анализируя эпюры, находят потенциально опасные сечения с неблагоприятным сочетанием силовых факторов. Для изображенной балки это сечение находится под силой F при z₁=a; z₂=b:

Мы видим, что расчетные усилия Q_max и M_max зависят от положения силы на балке, т.е. от значений a и b =(l-a). Если изменить положение силы на балке, то изменятся и значения эпюр.

Чтобы определить наиболее невыгодное положение нагрузки, при котором возникают наибольшие значения опорных реакций или внутренних усилий в конкретном сечении, строят линии влияния.

Линия влияния – это график, показывающий как изменяется исследуемый фактор в фиксированном сечении в зависимости от положения подвижной нагрузки на сооружении.

Таким образом, эпюра и линия влияния – это взаимно противоположные понятия.

I

A M B

R_A =const c=const R_B

z=var

Например, необходимо получить зависимости

;

где - расстояние от опоры А до точки приложения нагрузок.

И з трех видов нагрузок M, P, q основной считается сосредоточенная сила Р, т.к. распределенная нагрузка q – это несчетное множество элементарных сил, которые можно заменить одной равнодействующей силой Q, а момент М характеризует пару сосредоточенных сил .

P

q M=Ph

h P

С

С целью дальнейшего упрощения расчетов воспользуемся принципом суперпозиции: результат действия системы сил равен сумме результатов действий каждой силы в отдельности, т.е.

Кроме того, введём понятие о единичной силе : , где Р – значение силы, например, Р=12кН; n – численное значение силы, n=12; единицы силы; –

(черта) – отличительный признак единичной силы.

Из последней формулы получаем:

Мы видим, что единичная сила безразмерна.

Исследуемый фактор от силы Р можно найти по формуле

Линии влияния строятся от единичной силы Положительной считается сила , направленная вниз, а отрицательной –вверх.

Отметим принципиальные отличия линии влияния от эпюры:

1. Эпюра строится от любых нагрузок, а линия влияния от единичной силы;

2. При построении эпюры нагрузка занимает неизменное положение, а при построении линии влияния нагрузка движется по сооружению;

3. При построении эпюры сечение движется по сооружению, а при построении линии влияния сечение занимает неизменное положение.

Общим для эпюр и линий влияния является то, что оба графика строятся с использованием уравнений равновесия всего сооружения или метода сечений, в котором рассматривается равновесие какой-либо части сооружения.

Рассмотрим простую двухопорную балку, нагруженную единичной силой , расположенной на расстоянии z от левой опоры. От этой силы возникают опорные реакции R_A и R_B. Построим линию влияния реакции R_A.

Запишем уравнение равновесия балки

Мы получили уравнение прямой, т.к. z в первой степени.

Когда сила расположена над опорой A z=0, R_A=1.

Когда сила расположена над опорой B z=l, R_A=0.

Чертим базисную линию ав, параллельную оси балки, и назначаем масштабный множитель : в 1 см – 1 (единица).

Откладываем над точкой а 1 см., над точкой в 0 см и соединяем прямой. Выделяем ординату под силой и штрихуем перпендикулярно базисной линии.

Аналогично строится линия влияния опорной реакции R_B:

– прямая; при z=0 R_B=0; при z=l R_B=1.

При положении силы посередине балки R_A=R_B=1/2, что соответствует средней линии треугольников.

R_A z (l-z) R_B

l

Линия влияния R_A

Л.в. R_B

A B

+

1

0

+

1

0

Отметим физический смысл ординат линии влияния: ордината линии влияния численно равна значению реакции в тот момент, когда единичная сила расположена над данной ординатой, т.е. . Используя это свойство, можно найти реакции от любого вида нагрузки.

h

а_м Р₂=+Р₁

a_p

Q

C

a_qH

a_qк

Линия влияния R_A

P₁ M P q

R_A

α

1

( h ω_q

Легче всего найти реакцию от силы Р. Так как , то по формуле (2)

,

т.е. необходимо значение силы умножить на ординату линии влияния, взятую под силой. Силу, направленную вниз, считаем положительной.

Распределенную нагрузку q, действующую на длине с, заменим равнодействующей Q=qс, приложенной на пересечении диагоналей. Тогда:

т.е. необходимо интенсивность нагрузки q умножить на площадь ω_q линии влияния, расположенную под нагрузкой. Нагрузку , направленную вниз, считаем положительной.

Момент M представим в виде пары сосредоточенных сил P₁ и P₂=P₁ с плечом пары h при условии, что P₁h=M. Тогда получаем с учётом знаков сил:

т.е. необходимо значение момента умножить на тангенс угла α наклона линии влияния в месте приложения момента. Момент будем считать положительным против хода часовой стрелки. Угол α будем считать положительным при повороте линии влияния до базисной линии против хода часовой стрелки.

Р

a=1м b=1м с=2м

Р=10кН

ассмотрим пример.

М=20кН*м q=8кH/м

Линия влияния R_A

ω_q

α

1

Момент М и нагрузка q показаны положительными, а сила Р показана отрицательной.

Рассмотрим построение линий влияния поперечной силы и изгибающего момента для сечения I, находящегося на расстоянии a от левой опоры и b от правой опоры.

z

I

z

R_A

R_B

a

b

l

Л.в. Q_i

Правая прямая

Левая прямая

Л.в. M_I

Левая прямая

Правая прямая

1

1

a

b

Поперечная сила

Единичная сила может располагаться слева и справа от сечения I. Пусть сила слева от сечения. Тогда Q_i=-R_B. Умножаем линию влияния R_B на (-1) и проецируем на нее сечение I. Получаем левую прямую.

Пусть сила справа от сечения. Тогда Q_i=R_A. Показываем линию влияния реакции R_A и проецируем на нее сечение I. Получаем правую прямую.

Характерные ординаты находим из подобия треугольников:

- сумма ординат под сечением равна 1

Изгибающий момент

Сила слева от сечения I: M_I=R_Bb; линия влияния M_I=b· (л.в. R_B). Умножаем линию влияния R_B на b и на полученную прямую проецируем сечение I. Получаем левую прямую.

Сила справа от сечения I: M_I=R_Aa; аналогично строим правую прямую. Ординату вершины находим из подобия треугольников:

– левая и правая прямые пересекаются под сечением.

Рассмотрим простую консольную балку. Построим линии влияния поперечной силы и изгибающего момента для сечения I.

Единичная сила слева от сечения: рассмотрим левую отсеченную часть.

при

Единичная сила справа от сечения: Q=0; M=0 (из рассмотрения левой отсеченной части).

z

I M_A

a

R_A

Л.в. Q

Правая прямая

1

1

Левая прямая

Л.в. М 0

Правая прямая

a Левая прямая

Рассмотрим шарнирную балку с консолями.

Линии влияния опорных реакций строятся аналогично простой балке с продолжением прямых на консолях.

Линии влияния Q и M для сечения I, рассмотренного в пролете, строятся как для простой балки, с продолжением на консолях. Для линии влияния Q проводим 2 параллельных прямых, расстояние между которыми 1, через точки опирания. Проецируем сечение I на них и оставляем те части, которые включают в себя нуль-точки.Для линии влияния М откладываем над опорными точками отрезки a – слева, b - справа. Соединяем с нуль-точками и оставляем те части, которые содержат нуль-точки.

Линии влияния Q, M для сечения К, расположенного на правой консоли, строим как для простой консольной балки. Для Q: проводим прямую, параллельную базисной линии на расстоянии 1 и проецируем на нее сечение K (Q положительно при данном положении).

Для М: откладываем на конце базисной линии отрезок с и соединяем с 0 в сечении.

K

I

z

A

B c

R_A

R_B

l₁ a b l₂

l

1 Л. в. R_A

0

Л. в. R_B

1

0

Л.в.Q_T

Правая прямая

0

1

Левая прямая

0

1

Л.в. M_I

b

Правая прямая

Левая прямая

a

Л.в. Q_k

1

1

Л.в. M_k

0

С