32

Введение

Термин mechane в переводе с греческого означает орудие, сооружение. Как наука, механика изучает равновесие материальных тел и их перемещение в пространстве под действием сил. Строительная механика излагает способы расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Строительную механику можно рассматривать как количественное и качественное развитие сопротивления материалов. Укажем два принципиальных отличия строительной механики от сопротивления материалов:

1. В сопротивлении материалов задачи прочности доводят до дифференциального уровня, т.е. до напряжений и деформаций в опасных точках. В строительной механике задачи решают в интегральной форме, т.е. ограничиваются определением внутренних усилий.

2. В сопротивлении материалов исследуют отдельные элементы, например стержни. В строительной механике рассматривают сложные ансамбли, состояние из десятков, сотен и даже тысяч элементов.

§1. Структурный, кинематический и силовой анализы сооружений

Строительные сооружения состоят из большого числа элементов, которые по геометрическим параметрам разделяются на пять типов:

1. Массивные тела, например, фундаментные блоки;

2. Пластинки, например, плиты перекрытий зданий;

3. Оболочки, например, купола АЭС, покрытия ангаров;

4. Стержни, например, колонны и балки несущих каркасов зданий;

5. Тонкостенные стержни, например, подкрановые балки промышленных цехов.

Обозначим характерные размеры геометрического объекта: l – длина,b –ширина,

h – высота, – толщина контура поперечного сечения. Тогда можно записать:

;

1 ) 2) 3) 4)

5)

В дальнейшем мы будем рассматривать, в основном, сооружения, состоящие из стержней – стержневые системы. Отдельные стержни будем называть звеньями, или элементами, которые, соединяясь между собой, образуют кинематические цепи. Места соединения звеньев образуют узлы, которые делятся на четыре основных типа:

I тип – жёсткие узлы. В них сходящиеся элементы соединены друг с другом сварными швами или замоноличиванием бетоном таким образом, что отсутствуют взаимные повороты смежных сечений примыкающих элементов (углы примыкания не изменяются).

II тип – шарнирные узлы. Здесь звенья соединены с помощью цилиндрических или шаровых закреплений, позволяющих стержням свободно поворачиваться относительно центра узла.

III тип – подвижные узлы. Соединение осуществляется с помощью свободно соприкасающихся роликов. В этом узле возможны взаимный поворот и смещение. В идеализированной схеме этого узла каток заменяют шарнирно закрепленным стержнем, длина которого условно считается бесконечной.

IV тип – упругоподатливые узлы. Этот тип узла является промежуточным между узлами I и II типов. При шарнирном соединении звеньев между ними имеются упругие связи, сопротивление которых необходимо преодолеть, чтобы повернуться на некоторый угол. В реальных конструкциях этому типу узла соответствуют заклепочные и болтовые соединения.

90

Пространственный Плоские узлы

узел I типа I типа II типа III типа

IVтипа

Примечание: сплошной линией показана идеализированная схема узла; штриховой линией показана возможная деформация узла.

Узлы бывают простые и сложные, или кратные: каждый сложный узел равен (S-1) простым узлам( S – число сходящихся стержней). Например, для плоского шарнирного узла с 5 сходящимися стержнями получаем

2 3

1 4

5

Кинематические цепи, образующиеся при соединении звеньев, делятся на изменяемые и неизменяемые. Геометрически изменяемые при сколь угодно малой нагрузке существенно трансформируются, в то время как геометрически неизменяемые воспринимают воздействие внешних нагрузок без заметных изменений своей конфигурации, т.е. размеров и формы. Кинематические цепи бывают открытыми и замкнутыми. Покажем примеры простейших замкнутых кинематических цепей.

Неподвижный диск

F F

Диск

F F

Неизменяемая Изменяемая Обозначение диска

кинематическая кинематическая

цепь цепь

Неизменяемую кинематическую цепь для краткости будем называть диском. В качестве диска можно рассматривать как отдельный стержень, так и любую часть стержневой системы, неизменяемость которой доказана. Неподвижный в пространстве диск будем называть сооружением, а подвижный – механизмом.

Все сооружения в конечном счёте опираются на Землю, которую принимаем за основной неподвижный диск. Все другие диски, будучи геометрически неизменяемыми, могут перемещаться в пространстве, если их не закрепить определённым образом к неподвижному диску. Увеличим левое изображение. Чтобы ответить на поставленный на рисунке вопрос необходимо выполнить кинематический анализ.

Сооружение или

механизм?

F

Земной

шар

Земля

Рассмотрим правила образования дисков и сооружений, представляющих собой плоские стержневые системы. Введем понятия о степени свободы и связи.

Степень свободы – направление, в котором объект может перемещаться под действием нагрузки.

Число степеней свободы – количество независимых геометрических параметров, определяющих положение объекта (узла, стержня, диска) в пространстве после его перемещения.

Связь – это всякое устройство, отнимающее степень свободы.

Таким образом, степень свободы и связь – это взаимоисключающие понятия, т.к. перемещение объекта в каком-либо направлении может либо быть, либо не быть.

Например, плоский шарнирный узел можно рассматривать как точку. Он имеет две степени свободы и для их ликвидации необходимо наложить две связи.

y

A₁ ∆y A A_x

A A_y

∆x Геометрически неизменяемая

х система – вырожденное сооружение

∆x, ∆y – степени свободы точки AA_x, AA_y – связи.

Ч

∆y

исло степени свободы равно 2 А –неподвижный диск

Покажем геометрически изменяемую систему – простейший механизм

A

∆x

A_x A A₁

A ₁ A_y

1 степень свободы по 1 степень свободы по оси x

оси y и 1 связь по оси x и 1 связь по оси y

Примечание: в данном случае в качестве связи рассматривается стержень, шарнирно прикрепленный к неподвижному диску (Земле). Длина этого стержня условно считается бесконечно большой: . Это дает возможность перемещаться т. А строго по вертикали или строго по горизонтали. Другими словами по перпендикуляру к поставленной связи: .

Плоский стержень можно рассматривать как отрезок прямой, совпадающий с геометрической осью стержня. Он имеет 3 степени свободы и для их ликвидации необходимо наложить 3 связи.

B₁

φ

Cтержень y A₁

А B ∆y

Геометрическая ось A B

∆x, ∆y, – степени свободы ∆x

отрезка прямой. Число степеней равно 3 0 x

3 степени свободы

2 пересекающихся шарнирных стержня эквивалентны 1 шарниру

A B

L

Наложено 3 связи: неподвижный диск, т.е. сооружение

3 шарнирных стержня эквивалентны 1 глухой заделке

Покажем примеры подвижных дисков, т.е. механизмов:

∆x

А (Тележка)

∆ φ (Маятник)

наложено 2 связи: наложено 2 связи: .

имеется 1 степень свободы . имеется 1 степень свободы:

Так как стержень – это частный случай диска, то обобщая, можно сказать, что для обеспечения неподвижности любой диск необходимо прикрепить к Земле тремя основными способами:

1. Поставить три шарнирных стержня, не пересекающихся в одной точке;

2. Поставить шарнир и один шарнирный стержень, не проходящий через шарнир;

3. Поставить одну глухую заделку.

Аналогично можно создавать сложные диски из более простых дисков. Любое число дисков можно собрать в сложный диск без всяких проблем, если использовать только жесткие узлы.

n простых дисков

Сложный диск

Рассмотрим образование дисков с узлами II и III типов. Два диска можно соединить в сложный диск, не используя жёсткие узлы, двумя способами:

1. Поставить шарнир и шарнирный стержень, не пересекающий шарнир;

2. Поставить три шарнирных стержня, не пересекающиеся в одной точке.

О₂

О₁

O_i – точки пересечения двух стержней.

Три простых диска можно соединить в сложный диск без жестких узлов также двумя способами:

1. Поставить три шарнира, не расположенные на одной прямой;

2. Соединить диски попарно двумя стержнями, точки пересечения которых не расположены на одной прямой.

Чтобы получить ещё более сложный диск с использованием шарнирных узлов, необходимо к неизменяемому треугольному диску присоединить каждый последующий узел двумя новыми стержнями. По такому правило образуются фермы.

Обозначим S – число стержней, U – число узлов в ферме. Для основного треугольника . Для последующих (U-3) узлов необходимо добавить 2 (U-3) стержней. Общее количество стержней для всей фермы:

М ы получили необходимое и достаточное условие неизменяемости фермы при данном правиле сборки.Здесь U – узел любой сложности.

S=3

U=3

О₁ О₁

Ферма–

Получим структурные формулы, определяющие необходимое условие существования диска и сооружения любой сложности. Для кинематической цепи обозначим:

D - число простых дисков, из которых образуется кинематическая цепь;

U₀ – число простых шарнирных узлов (U₀=D-1);

C –число шарнирных стержней.

До соединения в кинематическую цепь D дисков обладали 3D степенями свободы; после соединения каждый простой шарнирный узел отнимает 2 степени свободы, а каждый шарнирный стержень – 1 степень свободы. Таким образом, число степеней свободы кинематической цепи:

Так как у свободного (незакрепленного) диска число степеней свободы W_д=3, то приравнивая

W_к.ц. = W_д получаем равенство:

Для сооружения число степеней свободы равно нулю, поэтому можно записать

(3)

Равенства (2) и (3) определяют необходимые условия геометрической неизменяемости кинематической цепи (стержневой системы без опор).И инженерного сооружения (Стержневой системы, прикрепленной к Земле). Здесь D – число конструктивных дисков (без Земли).

Условия (2) и (3) являются необходимыми, но не достаточными. Рассмотрим примеры

1. Рама.

а) б)

D

D ₁ D_{2 D}

С С

A B A B

Кинематическая Инженерное сооружение

цепь (рама)

Для рис.а: - геометрически изменяемая кинематическая цепь, т.е. не диск (1 степень свободы).

Для рис.б: - геометрически неизменяемое сооружение.

2. Ферма (цифрами показаны количество простых шарниров)

а) б)

2

4 4

2 2

1 3 2 4 2 3 1

Кинематическая цепь Инженерное сооружение (ферма)

Для рис.а, как простой фермы: - геометрически неизменяемая, т.е. диск.

Для рис.а, как кинематической цепи: – неизменяемая кинематическая цепь, т.е. диск.

Для рис.б, как сооружения: – неизменяемое сооружение.

3. Ферма.

.

1 4 3 2

2 3 3 1

Iпанель IIпанель IIIпанель

Формулу (1) применять нельзя, т.к. нарушено правило образования новых узлов. Но если применить, то получим

По формуле (2) находим

- необходимое условие выполняется, но система изменяема в III панели. Это противоречие объясняется тем, что нарушено основное правило сборки и один из стержней по ошибке оказался во II панели, где он является излишним.

Стержневые системы могут быть статически определимыми или статически неопределимыми. У первых опорные реакции и внутренние усилия находятся из уравнений равновесия всей системы или отдельных ее частей. Для вторых систем таких уравнений недостаточно и приходится рассматривать условия совместности деформаций с использованием теории перемещений. Различают внешнюю, внутреннюю и смешанную статическую неопределимость. Если в системе нельзя найти все реакции из уравнений равновесия, то она внешне неопределима, а если нельзя найти все внутренние усилия, то она внутренне неприодолима.

Приведем примеры.

₃ F ₂ M F

_{3 2} F

_{4 4 1 1} F

A B H_{B А В}

H_A M_A M_B V_A V_B

V_A V_B

а) б) в)

а) Рама внешне 3 раза статически неопределима;

б) Рама внутренне 3 раза статически неопределима;

в) Рама 1 раз внешне статически неопределима и 2 раза внутренне статически неопределима, а в общем она 3 раза статически неопределима.

Для плоских стержневых систем в общем случае в каждом элементе возникает три внутренних усилия:

• Изгибающий момент M;

• Поперечная сила Q;

• Продольная сила N.

Их можно найти по методу сечений, если известны реакции.

Степень статической неопределимости равна

Где R – число независимых друг от друга опорных реакций и независимых от них внутренних усилий во всех элементах, U- число независимых уравнений равновесия всей стержневой системы или отдельных ее частей.

В схеме (а) за неизвестные можно принять 6 реакций в опорах А и B. Тогда внутренние усилия M_i, Q_i, N_i (i=1,2,3,4) можно выразить, используя метод сечений, через реакции, не добавляя при этом новых неизвестных. Например: и т.д. Для рамы в целом можно составить 3 уравнения равновесия. Таким образом для неё n=6-3=3.

В схеме (б) нет опорных реакций, но здесь возникает проблема замкнутого контура. Разрезав нижний стержень, получаем 3 пары внутренних усилий N₁, Q₁, M₁, которые при записи уравнений равновесия уничтожают друг друга и не могут быть вычислены статическим методом. Но, если их найти каким-то другим методом, то дальше задача легко решается. Для этой схемы R=3 ( Следовательно, n=3-0=3.

M₁ Q₁

М

F

M₁

Q₁

F N₁ N₁

Таким образом, любой замкнутый контур (внешний или внутренний) с жёсткими узлами всегда три раза неопределим. Каждый шарнирный узел снижает статическую неопределимость на единицу, а каждый подвижный узел снижает её на 2 единицы. Для рамных систем получаем синтезированную формулу:

где K – число замкнутых контуров, образованных стержнями и Землёй; U_ш – число внутренних и внешних простых шарниров; U_п – число внутренних и внешних подвижных узлов (катковых опор).

Для фермы степень статической неопределимости можно найти следующим образом: в каждом стержне возникает одно внутреннее усилие – продольная сила N; для каждого узла можно составить 2 уравнения равновесия . Если число стержней S, узлов U, а опорных связей C, то:

Для статически определимой фермы n=0 и мы получаем зависимость между числом стержней, узлов и опорных связей:

Если ферма имеет 3 опорных связи, то:

Если условие (7а) выполняется, то ферма статически определима, если S>2U-3, то ферма статически неопределима, если S<2U-3, то она геометрически изменяема.

Сравнивая формулы (1) и (7а), замечаем, что они полностью совпадают, хотя и получены при изучении различных свойств ферм. Из тождественности формул следует, что статически определимая ферма является геометрически неизменяемой.