1.5. Односекторні моделі Леонтьєва і Солоу

Для зручності дослідження моделей економічної динаміки розглядають моделі з агрегованими змінними. До них відносяться односекторні моделі, в яких економіка на тривалому періоді [0, Т] в кожній момент часу t € [0..T] характеризується набором змінних X, У, K, L, J і C, що відображують відповідно обсяги валової продукції, кінцевої продукції, основних засобів, робочої сили, інвестицій і невиробничого споживання (без урахування державних витрат). Дана модель була розроблена Леонтьєвим та Солоу. Елементи односекторної моделі пов’язані наступними балансовими співвідношеннями:

,

(1.17)

де (0 <  < 1) – коефіцієнт прямих матеріальних витрат;

t – поточний період, за який проводиться оцінка;

X(t) – обсяг валової продукції;

Y(t) – обсяг кінцевої продукції.

,

(1.18)

де Y(t) – обсяг кінцевої продукції;

J(t) – обсяг інвестицій;

С(t) – обсяг невиробничого споживання.

(1.19)

де µ(0 < µ < 1) – коефіцієнт амортизаційних витрат;

– приріст капіталу у поточний період;

К(t) – обсяг капіталу.

Підставляючи співвідношення (1.17) і (1.18) у (1.19), одержуємо односекторну модель економічної динаміки:

.

(1.20)

Якщо період часу t приймає дискретні значення t = 0,1,..., T, то рівняння моделі записується у вигляді дискретної моделі:

,

(1.21)

де .

При цьому змінну t не записують.

Рівняння (1.21) пов’язує три змінних: Х, К і С. Подальші перетворення рівняння (1.21) пов’язані із зменшенням числа змінних.

l) Припустимо, що в (1.19) µ=0, тобто всі інвестиції J повністю йдуть на приріст основних засобів без витрат на амортизацію. Якщо вважати, що:

,

(1.22)

де q (q > 0) – капіталомісткість приросту валової продукції,

тоді на основі (1.20) отримаємо односекторну модель Леонтьєва:

(1.23)

2) З використанням економетричних методів односекторну модель Леонтьєва трансформуємо у модель Солоу. Припустимо, що в моделі (1.21) змінна X визначається за допомогою виробничої функції, тобто X = F(K, L) з виконанням для F усіх вимог для виробничих функцій, а L – екзогенна (управляюча) змінна з постійним темпом зростання, .

Тоді затрати праці будуть описуватися степеневою функцією:

(1.24)

де L_t – затрати часу в поточний період часу;

L₀ – затрати часу в базовий період L₀= L(0).

Введемо відносні змінні:

1. Продуктивність праці ;

2. Капіталоозброєнність ;

3. Питоме споживання .

Всі ці величини є функціями часу t.

Підставляючи в (1.20) X =xL, K=kL і C=cL, отримуємо:

.

(1.25)

Підставивши у (1.25) , отримуємо:

.

(1.26)

Будемо вважати, що X = F(K, L) є лінійною однорідною функцією, тоді:

, або .

(1.27)

Функція (1.27) задовольняє умови:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Підставляючи функцію в (1.26), одержуємо відкриту динамічну модель Р. Солоу у формі диференціального рівняння 1-го порядку з вільною (управляючою) змінною с:

.

(1.28)

Перетворення відкритої моделі в закриту здійснюється шляхом виключення вільної змінної с. Введемо постійну норму накопичення S = J/Y. Позначимо через u=C/Y норму споживання. Норма споживання та норма накопичення пов’язані залежністю S + u = 1. Тоді отримуємо:

.

(1.29)

Підставляючи (1.28) в (1.29), одержимо закриту динамічну модель Солоу у формі диференціального рівняння 1-го порядку з управляючою змінною s:

.

(1.30)

Оскільки права частина рівняння (1.30) безперервна, то рішення k(t) рівняння існує. Якщо з рівняння (1.30) знайти k(t), то задавши L(t), отримуємо:

.

(1.31)

Формула (1.31) відображує кінцеві рівняння для визначення змінних, що характеризують економічний процес у відповідності з моделлю Солоу.