Задача 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях
Имеются данные о динамике числа предприятий в Российской Федерации в 1995–2003 г.г.
По каждому субъекту Российской Федерации, входящему в состав Центрального федерального округа, и в целом по округу найдите:
1) долю малых предприятий в общем числе предприятий в каждом из указанных лет;
2) параметры линейного, экспоненциального, степенного, гиперболического трендов, описывающих динамику доли малых предприятий. Выберите из них наилучший;
3) охарактеризуйте развитие малого предпринимательства в отдельных субъектах Российской Федерации и в федеральном округе в целом.
Исходные данные приведены в книге МУ.xlsx, лист «Задача 5».
1. Определим долю малых предприятий в округе и по каждому субъекту за 1995…2003 г.г. делением числа малых предприятий на общее количество предприятий.
Сформируем третью таблицу, изначально пустую, формат которой совпадает с форматом второй таблицы (количество столбцов второй таблицы на 1 меньше, чем в первой). Поделим количество малых предприятий из ячеек первой таблицы на общее количество предприятий из соответствующей ячейки первой таблицы, а результат поместим в аналогичную ячейку третьей таблицы.
Итоговые расчеты сведены в табл. 18.
По итогам расчетов построим диаграмму: лента «Вставка» → «График» (рис. 16, рис. 17).
Таблица 18.
ДОЛЯ МАЛЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
Центральный федеральный округ |
39,31% |
34,50% |
30,34% |
28,05% |
26,88% |
24,91% |
22,98% |
22,72% |
20,18% |
Белгородская область |
29,13% |
15,94% |
16,21% |
31,35% |
28,99% |
19,08% |
18,12% |
23,17% |
29,13% |
Брянская область |
35,37% |
25,79% |
21,08% |
23,23% |
22,41% |
21,45% |
17,38% |
18,22% |
16,85% |
Владимирская область |
44,57% |
39,06% |
37,40% |
31,47% |
28,27% |
30,20% |
28,34% |
36,15% |
25,19% |
Воронежская область |
33,64% |
38,40% |
34,22% |
29,73% |
32,82% |
30,02% |
27,23% |
31,70% |
30,33% |
Ивановская область |
40,92% |
36,84% |
34,40% |
30,44% |
31,42% |
25,31% |
23,68% |
22,64% |
22,15% |
Калужская область |
47,14% |
41,91% |
38,38% |
25,42% |
28,25% |
27,82% |
25,81% |
28,07% |
21,97% |
Костромская область |
28,76% |
20,40% |
19,73% |
23,93% |
24,11% |
23,71% |
22,66% |
22,33% |
19,31% |
Курская область |
20,10% |
12,92% |
13,04% |
16,55% |
12,23% |
13,97% |
13,37% |
13,79% |
15,86% |
Липецкая область |
31,57% |
30,79% |
28,59% |
29,32% |
31,53% |
27,80% |
25,65% |
29,62% |
29,08% |
Московская область |
35,50% |
33,15% |
32,04% |
34,10% |
38,50% |
36,39% |
33,35% |
30,60% |
22,70% |
Орловская область |
26,43% |
24,90% |
24,83% |
23,02% |
23,69% |
20,36% |
19,70% |
21,77% |
17,79% |
Рязанская область |
30,75% |
26,72% |
26,62% |
29,59% |
25,64% |
26,23% |
24,66% |
32,39% |
25,02% |
Смоленская область |
23,02% |
18,76% |
16,93% |
17,78% |
13,20% |
13,69% |
12,72% |
12,80% |
12,66% |
Тамбовская область |
20,82% |
19,33% |
19,09% |
18,74% |
25,72% |
21,99% |
22,11% |
18,04% |
18,42% |
Тверская область |
26,38% |
18,83% |
14,21% |
12,75% |
11,10% |
17,06% |
15,61% |
18,71% |
16,39% |
Тульская область |
41,50% |
37,75% |
31,60% |
31,94% |
34,94% |
24,31% |
23,52% |
21,69% |
20,25% |
Ярославская область |
42,49% |
38,25% |
32,05% |
36,90% |
30,07% |
24,99% |
22,63% |
23,54% |
23,32% |
г. Москва |
44,18% |
38,24% |
32,38% |
28,01% |
25,61% |
23,72% |
21,84% |
20,82% |
18,93% |
Рис. 16. Вставка графика.
Рис. 17. Вставка графика (продолжение)
В результате получаем следующий график (рис. 18).
Рис. 18. Доля малых предприятий в зависимости от времени
Как можно заметить, доля малых предприятий в Центральном федеральном округе монотонно уменьшается.
2-я часть задачи состоит в том, чтобы найти наилучшее уравнение регрессии, описывающие динамику доли малых предприятий.
С этой целью скопируем третью таблицу на листе «Задача 5», перенесем ее на лист «Задача 5_1», оставим только строки с моментами времени и долей малых предприятий по округу в целом.
Для построения уравнения регрессии данные должны находиться в столбцах. Поэтому транспонируем полученную матрицу.
Необходимо получить уравнения
- линейной регрессии
;
- экспоненциальной регрессии
;
- степенной регрессии
;
- гиперболической регрессии
.
Здесь следует отметить, что фактор «Время» имеет большие значения и малую вариацию. Это может привести к существенной неопределенности в анализе. В этой связи рекомендуется указать в качестве значений времени их номера по порядку (см. лист «Задача 5»).
Первое уравнение получаем непосредственно (см. табл. 19).
Мера определенности
Уравнение регрессии:
Для получения экспоненциальной регрессии необходимо провести логарифмирование:
Таким образом, придется найти уравнение
регрессии для новой переменной
в виде
,
а затем пересчитать коэффициенты:
.
Сформируем новые значения Y в таблице 2 на листе «Задача 5_1» и найдем уравнение регрессии (табл. 20).
Таблица 19.
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
Множествен-ный R |
0,966637 |
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,934386 |
|
|
|
|
|
Нормирован-ный R-квадрат |
0,925013 |
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,016774 |
|
|
|
|
|
Наблюдения |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
0,028047 |
0,028047 |
99,6851 |
2,16E-05 |
|
Остаток |
7 |
0,001969 |
0,000281 |
|
|
|
Итого |
8 |
0,030017 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффици-енты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересече-ние |
0,385738 |
0,012186 |
31,65469 |
8,12E-09 |
0,356923 |
0,414553 |
x |
-0,02162 |
0,002165 |
-9,98424 |
2,16E-05 |
-0,02674 |
-0,0165 |
Таблица 20.
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
||||||
Множествен-ный R |
0,984785 |
|
|
|
|
|
|||||
R-квадрат |
0,969802 |
|
|
|
|
|
|||||
Нормирован-ный R-квадрат |
0,965488 |
|
|
|
|
|
|||||
Стандартная ошибка |
0,039564 |
|
|
|
|
|
|||||
Наблюдения |
9 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|||||||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|||||
Регрессия |
1 |
0,351899 |
0,351899 |
224,8062 |
1,41E-06 |
|
|||||
Остаток |
7 |
0,010957 |
0,001565 |
|
|
|
|||||
Итого |
8 |
0,362856 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Коэффици-енты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|||||
Y-пересече-ние |
-0,91913 |
0,028743 |
-31,9776 |
7,56E-09 |
-0,98709 |
-0,85116 |
|||||
x |
-0,07658 |
0,005108 |
-14,9935 |
1,41E-06 |
-0,08866 |
-0,06451 |
|||||
Мера определенности процесса равна
Уравнение регрессии имеет вид:
Вернемся к исходным переменным:
Окончательно, получаем:
Для получения регрессии по степенной функции необходимо снова логарифмировать уравнение:
Вводим новые переменные:
.
Находим уравнение регрессии
.
После получения уравнения регрессии
пересчитываем коэффициенты:
.
Результаты расчетов сведены в табл. 21.
Таблица 21.
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|||||
Множествен-ный R |
0,984274 |
|
|
|
|
|
||||
R-квадрат |
0,968796 |
|
|
|
|
|
||||
Нормирован-ный R-квадрат |
0,964338 |
|
|
|
|
|
||||
Стандартная ошибка |
0,040218 |
|
|
|
|
|
||||
Наблюдения |
9 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
||||||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
||||
Регрессия |
1 |
0,351534 |
0,351534 |
217,3315 |
1,58E-06 |
|
||||
Остаток |
7 |
0,011322 |
0,001617 |
|
|
|
||||
Итого |
8 |
0,362856 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Коэффици-енты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
||||
Y-пересече-ние |
-0,88749 |
0,031152 |
-28,4886 |
1,69E-08 |
-0,96115 |
-0,81383 |
||||
X=ln(x) |
-0,29144 |
0,019769 |
-14,7422 |
1,58E-06 |
-0,33819 |
-0,24469 |
||||
Мера определенности процесса равна
Уравнение регрессии имеет вид:
Вернемся к исходным переменным:
Окончательно, получаем:
Для расчета гиперболической регрессии
необходимо ввести новую переменную
.
Результаты расчета сведены в табл. 22.
Таблица 22.
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
Множествен-ный R |
0,932877 |
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,87026 |
|
|
|
|
|
Нормирован-ный R-квадрат |
0,851725 |
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,023587 |
|
|
|
|
|
Наблюдения |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
0,026122 |
0,026122 |
46,95386 |
0,000241 |
|
Остаток |
7 |
0,003894 |
0,000556 |
|
|
|
Итого |
8 |
0,030017 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффици-енты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересече-ние |
0,214647 |
0,012096 |
17,74543 |
4,45E-07 |
0,186045 |
0,24325 |
X=1/x |
0,200386 |
0,029244 |
6,852289 |
0,000241 |
0,131236 |
0,269537 |
Мера определенности процесса равна
Уравнение регрессии имеет вид:
Сведем результаты расчета в табл. 23.
Таблица 23.
Сводная таблица
Вид регрессии |
Уравнение регрессии |
Мера определенности
|
Линейная |
|
0.925 |
Экспоненциальная |
|
0.965 |
Степенная |
|
0.964 |
Гиперболическая |
|
0.852 |
Можно отметить, что наибольшее значение меры определенности имеет степенная зависимость, что дает основание рекомендовать именно ее для задач прогнозирования.