Необхідні й достатні умови ідентифікованості

Щоб швидше формально визначити ідентифікованість структур­них рівнянь, застосовують такі необхідні й достатні умови. Нехай система одночасних рівнянь містить рівнянь відносно ендоген­них змінних, а також екзогенних або заздалегідь визначених змінних. Крім того, для деякого рівняння кількість ендогенних і ек­зогенних змінних у перевірці на ідентифікованість дорівнює відпо­відно і . Змінні, що не входять у дане рівняння, але входять в інші рівняння системи, назвемо виключеними змінними (з даного рівнян­ня), їх кількість дорівнює для ендогенних і для екзогенних змінних.

Перша необхідна умова. Рівняння ідентифіковане, якщо воно вик­лючає принаймні змінну (ендогенну чи екзогенну), що присут­ня в моделі:

.

Друга необхідна умова. Рівняння ідентифіковане, якщо кількість виключених з нього екзогенних змінних не менше кількості ендоген­них змінних у цьому рівнянні, зменшеної на одиницю: .

Знаки рівності в обох необхідних умовах відповідають точній іден­тифікованості рівняння.

Наведемо приклади використання зазначених умов для визначен­ня ідентифікованості структурних рівнянь.

1. У простій моделі «попит — пропозиція»

маємо:

Для кожного з рівнянь . Отже, перша не­обхідна умова не виконується для обох рівнянь, тому що

.

Це означає, що вони обидва неідентифіковані.

2. Додамо до функції попиту екзогенну змінну (прибуток споживачів):

маємо: Для кожного з рівнянь . Для першого рівняння , для другого . Тоді для першого рівняння . А це означає, що перша необхідна умова не виконується і дане рівняння неідентифіковане. Для друго­го рівняння цієї системи , тобто дане рівняння точно ідентифіковане. Отже, функція пропозиції може бути визначена однозначно.

3. У моделі:

. Для кожного рівняння системи , . Для кожного з рівнянь виконується умова:

.

Отже, обидва рівняння системи є точно ідентифікованими.

4. У моделі «попит — пропозиція», де враховано три екзогенні змінні:

. Для кожного рівняння системи . Кількість вик­лючених змінних у першому рівнянні . Тоді перше рівняння точно ідентифіковане, тому що для нього .

Для другого рівняння . Отже, для нього

. Це рівняння є перевизначеним.

Для однозначної оцінки коефіцієнтів функції пропозиції в цьому разі необхідно використовувати інші спеціальні методи оцінювання пара­метрів.

Необхідна і достатня умова ідентифікованості

У моделі, що містить рівнянь відносно ендогенних змінних, умова ідентифікованості виконується тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з виключених з даних рівнянь змінних, але таких, що містяться в інших рівняннях системи, дорівнює .

8.5. Методи оцінювання параметрів систем рівнянь

Як зазначалося, застосування звичайного МНК до рівнянь структур­ної форми системи рівнянь призводить до отримання зміщених оцінок параметрів через корельованість (залежність) змінних і залишків моделі, що є порушенням однієї з передумов застосування МНК. Перехід від структурної форми моделі до скороченої є одним із способів, що усуває проблему корельованості, однак породжує іншу, а саме проблему іден­тифікованості окремих рівнянь системи, а також системи загалом.

Залежно від розв'язання цієї проблеми, тобто після перевірки умо­ви ідентифікованості кожного рівняння системи, застосовують такі методи:

1. якщо кожне рівняння системи точно ідентифіковане, то пара­метри зведеної моделі оцінюють непрямим методом найменших квад­ратів (НМНК); ідея методу полягає в тому, щоб від структурної фор­ми перейти до зведеної, звичайним МНК оцінити параметри останньої й оберненим перетворенням отримати оцінки параметрів структурної форми;

2. усунути кореляцію між змінними та залишками моделі можна також за допомогою методу інструментальних змінних, ідея якого полягає в тому, щоб змінні, що корелюють із залишками, замінити іншими - інструментальними, які тісно пов'язані з незалежними змінними моделі, але зовсім не пов'язані з її залишками;

3. якщо рівняння структурної форми моделі надідентифіковані, то параметри моделі оцінюють за допомогою двокрокового методу найменших квадратів (2МНК), що передбачає виконання двох етапів:

а) перший - ендогенні змінні «звільняють» від стохастичних за­лишків;

б) другий - оцінені рівняння підставляють у структурну систему рівнянь, до яких потім застосовують звичайний МНК;

4) трикроковий метод найменших квадратів для одночасного оці­нювання всіх рівнянь системи за певних обставин ефективніший по­рівняно з непрямим і двокроковим МНК.