2. Расчет прогона

Прогоны располагается поперек скатов покрытия и опирается на основные несущие конструкции, поставленные с шагом B = 3м. На прогон действуют изгибающие нагрузки от собственного веса покрытия и снега нормативная.

Определим собственный вес прогона:

G_к^пр =(G_к+Q_к)/(1000/(к_св×l)-1)= (0,26+1,5)/(1000/(12×3)-1)=0,14кН/м² (2.11)

где G_k=0,26 кН/м - нормативная постоянная нагрузка;

Q_k=1,5 кН/м² - нормативная снеговая нагрузка ;

/=В=3 м - пролет прогона, м;

К_св=12 - коэффициент собственного веса прогона для /=6 м.

Постоянная нагрузка от покрытия на 1 м² плана включая вес прогона:

G_к^пок =G_к+G_к^пр = 0,26+0,14=0,39 кН/м²;

G_d^пок =G_d+G_к^пр×γ_f =0,3+0,14×1,1=0,45 кН/м²

где G_d=0,30 кН/м² ~ расчётная постоянная нагрузка;

γ_f =1,1.- коэффициент надежности по нагрузке для деревянных конструкций.

Полная погонная нагрузка на прогон:

F_к =(G_к^пок+Qк)×а_d=(0,39+1,5)x1,6 =3,03 кН/м;

F_d=(G_d^пок+Q_d)×а_d=(0,45+2,4)×1,6 =4,56 кН/м;

где a_d=1,6 м - расстояние между прогонами.

Принимаем конструкцию разрезные брусчатые прогона.

Максимальный изгибающий момент:

M_d = F_d×l_d²/8 =4,56×1,6²/8×100 = 2053,70 кН×см.

Требуемый момент сопротивления равен:

W_d^тp =M_d/f_m,_d=2053,70/1,34= 1530,20 см³,

где f_m,d=f_m,_d x k_x x k_mod/γ_n=15x1x0,85/0,95=13,4 МПа=1,34 кН/см²,

здесь f_md= 15 МПа=1,5 кН/см² - расчетное сопротивление изгибу для элементов прогона из древесины ель 1-го сорта;

к_х=1 - переходной коэффициент учитывающий породу древесины.

Приняв ширину сечения прогона b=15,0 см, определяем его требуемую высоту сечения:

h_тр (2.12)

В соответствии с сортаментом пиломатериалов принимаем b=25 см.

Определяем запас прочности:

W_d=bxh²/6=15x25²/6=1562.50 см³;

Определяем запас прочности:

G_m,d=M_d/Wd = 2053.70/1562.5=1.31 кН/cм²;

G_m,d /f_m,d =1.31/1.34=0.98 < 1 (запас прочности составляет 2.11%, что допустимо).

Проверка на жесткость

Определяем относительный прогиб настила от нормативной нагрузки :

U_max/l_d = (2,13 х F_k х |_d³ х γ_n)/(384×E₀×l_d) =(2,13 х0.0303 х(6×100)³ х 0.95)/(384×850×19531.25) =0.0021 <(1/199)=0.01

где: F_K=3.03 кН/м - полная нормативная нагрузка;

I_d=W_dxh³/12=1562.50x25³/12= 19531,25см⁴;

1/199- предельный относительный прогиб для l_d=4 м.

3. Расчет несущих конструкций покрытия и подбор сечения элементов

По заданию необходимо запроектировать и рассчитать треугольную металлодеревянную ферму. Пролет фермы 18,0м, район строительства г. Санкт-Петербург. Высота фермы в коньке h=4,5м.

Распределенные нагрузки, действующие в верхнем поясе, условно считаем сосредоточенными в его узлах. Расчетные нагрузки, действующие на ферму, делятся на постоянные и временные. Постоянные состоят из веса вышележащих конструкций и собственного веса. Нагрузка от собственного веса определяется по формуле:

G_к^ф =(G_к+Q_к)/(1000/(к_св×l)-1)=(0,39+1,5)/((1000/(3×18)-1)=0,07 кН/м².

/= 18,0 м - пролет фермы, м;

К_св=3 - коэффициент собственного веса фермы.

Постоянная нагрузка от покрытия на 1 м² горизонтальной проекции с учётом коэффициента:

k= S_ap/l =12,96/18 =1,06.

G_к = G_к^пок ×к+G_к^ф =0.39×1.06+0.07=0.49 кН/м²;

G_d = G_d^пок ×к+G_d^ф = 0.45 ×1.06+0.07×1.1 =0.56 кН/м².

Постоянная нагрузка на 1 погонный метр:

G_d = G_d ×B= 0,56×3,0 =3,36 кН/м.

Снеговая нагрузка на 1 погонный метр:

Q_d= Q_d ×к×B=2,4×1,06×3 =15,3 кН/м.

Статический расчет производим следующим образом. На левом полупролёте фермы усилия от снеговой нагрузки. Условные сосредоточенные нагрузки в узлах фермы.

Р₁=Р₄ = Q_d×l/2 =15,3×18/2 = 15,55кН. (3.1)

Р₂=Р₃= Q_d×l = 15,3×18=31,11 кН. (3.2)

Опорные реакции:

R_a = 3Q_d×l/8 = 3×15,3×18/8 = 69,99 кН. (3.3)

R_в = Q_d×l/8 = 15,3×18/8 = 23,33 кН. (3.4)

Продольные силы N в стержнях фермы от нагрузки на левом полупролете определяются построения диаграммы Максвелла–Кремоны (см. рисунок 3.2). Продольные силы от снеговой нагрузки на правом полупролете принимаются по этой же диаграмме по усилиям в стержнях незагруженной половины фермы. Полученные значения продольных сил сводятся в таблицу 3.1.

Рисунок 3.2 – Нагрузки и усилия в стержнях фермы

Таблица 3.1.Продольные силы в стержнях фермы

Обозначение	Усилия
	От постоянной нагрузки	От снеговой нагрузки			Расчётные усилия
		На левом полупролёте	На правом полупролёте	На всём пролёте
	Верхний пояс				-
В1	50,54	161,11	69,14	230,25	280,79
Г3	40,44	115,07	69,14	184,21	224,65
Д5	30,33	69,02	69,14	138,16	168,49
	Нижний пояс				+
А1	47,54	151,63	64,96	216,59	264,13
А2	47,54	151,63	64,96	216,59	264,13
А4	38,03	108,30	64,96	173,26	211,29
	Стойки				+
1-2	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
3-4	3,42	15,56	0,00	15,56	18,98
5-6	13,65	31,09	31,09	62,18	75,83
	Раскосы				-
2-3	10,11	46,04	0,00	46,04	.
4-5	11,71	53,36	0,00	53,36	65,07

Подбор сечения верхнего пояса

Ширину сечения верхнего пояса и элементов решётки принимаем одинаковой. Подберём её из условия предельной гибкости λ_max =150 для самого длинного раскоса 4-5, у которого l_z =l_y= 2.5м.

b = l_y/(0,289×λ_max) = 2,5/(0,289×150) =0,06м (3.5)

Исходя из условия обеспеченности опирания конструкции покрытия принимаем верхниё пояс сечением b×h=12.5×20 см.

Геометрические характеристики сечения пояса:

A_d =h×b=20×12,5=250см² (3.6)

W_d=b×h²/6 =12,5×20²/6 = 833,33 см³

I_z,sup=b×h³/12 =12,5×20³/12 = 8333,33 см⁴

I_y,sup=h×b³/12 =20×12,5³/12 = 3255,21 см⁴

Расчётная длина элемента:

l_d,z = μ₀×l_z ×k=1×2,03 ×1,06=2,16 м

μ₀ =1 – при шарнирно закреплённых концах стержня.

Радус инерции сечения в направлении соответствующей оси:

i_z= (3.7)

λ_z = l_d,z/i_z=2,16×100/3,61= 59.87< λ_max =120 (3.8)

λ_rel = (3.9)

k_c =λ²_rel /(2×λ²_z) =76.95² /(2×59.87²) =0.83 (3.10)

k_c –коэффициент продольного изгиба

k_m,c = 1-(G_c,o,d/(k_c×f_c,o,d)) = 1-(0,08/(0,83×1,34)) = 0,93 (3.11)

k_m,c – коэффициент учитывающий увеличение напряжения при изгибе от действия продольной силы.

f_c,o,d = f_c,o,d×к_х×k_mod,1×k_h×k_δ×k_r/γ_n= 1,5×1×0,85×1×1 ×1/0,95=1,34 кН/cм².

f_c,o,d – расчётное сопротивление ели сжатию, 1-го сорта.

k_h – коэффициент, учитывающий высоту сечения.

k_δ – коэффициент, учитывающий толщину слоя.

k_r – коэффициент, учитывающий радиус кривизны к толщине доски.

N_d = (G_d+Qd)×l_d/2= (3,36+15,3)×2,03/2=18,97 кН (3.12)

N_d – продольная сила.

G_c,o,d = N_d/A_inf=18,97/250 =0,08 кН/cм². (3.13)

G_c,o,d – расчётное напряжения древесины сжатия.

М_d = F_d×l²/8 = (3,36+15,3)×2,03²/8 = 9,64 кН×м.

G_m,d= М_d/W_d= 9,64/833,33×100=1,16 кН/cм².

G_m,d – расчётное напряжение изгиба.

Проверим сечение сжато изогнутого элемента.

(G_c,o,d/f_c,o,d)+(G_m,d/k_m,c /f_m,d ) ≤1; (0,08/1,34)+(1,16/0,93 /1,34)=0,98≤1 (3.14)

Принятое сечение удовлетворяет условиям прочности с запасом прочности 1,83%.

Исходя из предположения, что связи будут раскреплять панели пояса фермы по концам и в середине:

l_d,y =μ₀×l_z ×0,5=1×2,03×1,06 ×0,5=1,08 м.

i_y= .

λ_y =l_d,y/i_y =108/3,61 =29,93< λ_max =120.

k_c = λ²_rel /(2×λ²_y) = 76.95 /(2×29.93²) =3.30.

k_m,c = 1-(G_c,o,d/(k_c×f_c,o,d)) = 1-(0.08/(3.3×1.34)) =0.98.

k_inst = 140×b²×k_f/(l_m×h) =140×12.5²×1.13/(108×20) =11.44 (3.15)

k_f – коэффициент, зависящий от формы эпюры огибающих моментов.

Проверим принятое сечение на устойчивость плоской фермы деформирования.

(G_c,o,d/f_c,o,d/k_с)+(G_m,d/k_m,c /f_m,d/k_inst)² =(0,08/1,34/3,3)+(1,16/0,98 /1,34/11,44)² =0,02<1 (3.16)

Т.е. устойчивость плоской формы деформирования панелей верхнего пояса фермы обеспечена.

Подбор раскосов

Все раскосы проектируем одинакового сечения из бруса. За расчётное усилие принимаем усилие по таблице 3,1. Расчёт ведём для самого длинного раскоса 4-5.

Исходя из предельной гибкости h= l_z/(0,289×λ_max) = 2,5/(0,289×150) =0,06м. Принимаем сечение раскосов b×h=12.5×12.5см

A_d = h×b=12,5×12,5=156,25 см² >50 см²

I_y,sup= h×b³/12 = 12.5×12.5³/12 =2034.51 см⁴

l_d,y= μ₀×l_z = 1×2.5 =2.5м

i_y=

λ_y =l_d,y/i_y =2.5×100/3.61=69.37< λ_max=150

k_c = λ²_rel /(2×λ²_y) = 76.95² /(2×69.37²) =0.62

G_c,o,d = N_d/A_d= 65.07/156.25=0.42 кН/cм² <k_c ×f_c,o,d = 0.62 ×1.25 =0.83 кН/cм²

f_c,o,d = f_c,o,d×к_х×k_mod,1×k_h×k_δ×k_r/γ_n=1,4×1×0,85×1×1 ×1/0,95=1.25 кН/cм²

f_c,o,d - расчётное сопротивление ели сжатию, 2-го сорта.

Запас прочности составит 49,57 %;

Подбор сечения нижнего пояса

В соответствии с заданием принимаем пояс из двух неравнобоких уголков. Требуемая площадь сечения пояса составит:

А_тр = N_d×γ_n/(R_y×γ_c) = 264.13×0.95/(24×0.95) =11.01 см² (3.17)

Из условия обеспечения гибкости панелей, принимаем 2∟75×50×6 общей площадью А=2×7,25=14,5 см² >11.01 см². Полки уголков размером 7,5см располагаем вертикально, а полки размером 5см – горизонтальна, соединяя их сваркой через интервалы не более 80×i_y =80×1,42=113,6 см. Принимаем интервал 78 см.

Проверим сечение второй панели нижнего пояса на совместное действие растягивающей силы и изгибающего момента в середине панели от собственного веса.

Геометрические характеристики сечения: i_x =2,38см; I_x =2×I_x1 =2×40,92 =81,84см⁴;

W_x,min=I_x/(b - i_x) =81,84/(7,5 – 2,38) =15,98см³

Нагрузка от собственного веса двух уголков: G_d =1,14 Нcм.

М_d =G_d×l_н²/8 =1,14×203²/8 =5,88кНcм.

Напряжение в середине второй панели нижнего пояса:

G =N_d/A_inf+M_d/W_x,min =264,13/14,5+5,88/15,98 =18,59 кН/cм² < R_y×γ_c /γ_n=24×0.95/0.95=24 кН/cм²

Гибкость пояса в вертикальной плоскости:

λ_x = l_н,/i_x =2,03×100/2,38=85,43 < λ_max =400.

Подбор сечения стойки

Площадь сечения стойки 5-6 составит:

А_тр = N_d×γ_n/(f_sd×γ_c×k) = 75,83×0.95/(21,8×0.95×0,8) =4,35 см². (3.18)

Принимаем стержень d=25мм S240 (f_sd =218 МПа), площадью А= 4,91 см² >4,35 см².

k – коэффициент концентрации напряжения в нарезке.

Геометрические характеристики сечения: i_x =0,63 см; I_x =1,92 см⁴; W_x, =1,53 см³.

Нагрузка от собственного веса двух уголков: G_d =3,85 кг.

М_d =G_d×l²/8 =0,385×219²/8 =2,31 кНcм.

G =N_d/A+M_d/W_x =75,83/4,91+2,31/1,53 =16,95 кН/cм² < f_sd ×k×γ_c /γ_n=21.8×0.8×0.95/0.95=17.44 кН/cм².

l - длина стойки.

Гибкость пояса в вертикальной плоскости:

λ_x = l_н,/i_x =2.19×100/0.63=350.4 < λ_max =400.

Площадь сечения стойки 3-4составит:

А_тр = N_d×γ_n/(f_sd×γ_c×k) = 18,98×0.95/(21,8×0.95×0,8) =1,09 см²

Принимаем стержень d=16 мм S240 (f_sd =218 МПа), площадью А= 2,01 см² >1,09 см².

k – коэффициент концентрации напряжения в нарезке.

Геометрические характеристики сечения: i_x =0,4 см; I_x =0,32 см⁴; W_x, =0,4 см³

Нагрузка от собственного веса двух уголков: G_d =1,58 кг

М_d =G_d×l²/8 =0,158×146²/8 =0,42 кНcм

G =N_d/A+M_d/W_x =18,98/2,01+0,42/0,4 =1,05 кН/cм² < f_sd ×k×γ_c /γ_n=21.8×0.8×0.95/0.95=17.44 кН/cм².

l = Длинна стойки

Гибкость пояса в вертикальной плоскости:

λ_x = l_н,/i_x =1,46×100/0.4=365 < λ_max =400.