§ 19. Задачи для практического занятия по теме: «Центральная предельная теорема Ляпунова и ее следствия».
19.1. При механизированной уборке картофеля повреждается в среднем 10% клубней. Найти вероятность того, что из 200 случайно отобранных клубней картофеля повреждено от 15 до 50 клубней.
Решение. Из условия задачи следует, что р = 0,1, q = 1 – р = 0,9. Поскольку число независимых испытаний n = 200 достаточно большое, то для вычисления вероятности того, что поврежденными окажутся от 15 до 50 клубней, можно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа
Ответ: Р(15 Х 10) 0,881.
19.2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,84. Какова вероятность того, что из 60 выстрелов 52 попадут в мишень.
Решение. В данном случае опыт проводится по схеме Бернулли с параметрами р = 0,84, q = 1 – р = 0,16, n = 60. Поскольку n достаточно велико, то для расчета вероятности Р60(52) воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа:
.
Ответ: Р60(52) 0,1207.
19.3. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Возле каждого входа имеется гардероб. Сколько мест должно быть в каждом гардеробе для того, чтобы в 95% случаев все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Предполагается, что зрители приходят парами и каждая пара независимо от других выбирает один из входов с вероятностью 1/2.
Решение. Очевидно, что данный опыт происходит по схеме повторных испытаний Бернулли с параметрами n = 500, р = 1/2 и q = 1 – р = 1/2.
Обозначим через х число мест в каждом гардеробе, m – число случаев, когда пришедшей паре есть место в гардеробе соответствующего входа. Число х можно определить из условия
или
.
Поскольку число
n достаточно велико, n
p =
>>
10, то можно воспользоваться интегральной
теоремой Муавра-Лапласа
Из условия задачи получим
.
По таблице значений функции Лапласа найдем, что
.
Отсюда
х 537.
Ответ: число мест в каждом гардеробе должно быть не менее 537.
19.4. Найти вероятность того, что в результате 1000 бросаний монеты число выпадений герба будет заключено в интервале (475; 525).
Ответ: P (475 < X < 525) 0,8854.
19.5. Выход цыплят в инкубаторе составляет 75% от числа заложенных яиц. Оценить вероятность того, что из 2000 заложенных яиц вылупится:
а) ровно 1500 цыплят;
б) от 1400 до 1600 цыплят.
Ответ: а) Р(Х = 1500) 0,0291; б) P (1400 < X < 1600) 0,6970.
19.6. Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных детей мальчиков будет:
а) не менее половины;
б) менее половины.
Вероятность рождения мальчика равна 0,51.
Ответ: а) P (500 < m < 1000) 0,7357; б) P (500 m 1000) 0,2643.
19.7. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено от 790 до 830.
Ответ: P (790 m 830) = 0,9736.
19.8. Найти вероятность того, что при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), модуль отклонения частоты появления события от вероятности не превышает положительного числа .
Решение.
Необходимо оценить вероятность события
.
Воспользуемся теоремой Муавра-Лапласа
19.9. Посажено 600 семян кукурузы. Вероятность прорастания для каждого семени 0,9. Найти границу модуля отклонения частоты взошедших семян от вероятности р = 0,9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью 0,995.
Ответ: = 0,0034.
19.10. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение частоты изделий первого сорта от вероятности р = 0,85 по модулю не превысило бы 0,01?
Ответ: n 11171.