§ 17. Задачи для практического занятия по теме: «Теорема Чебышева и ее следствия».

17.1. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Оцените вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 360 г.

Решение. По условию задачи, математическое ожидание СВ Х – веса клубня равно 120 г. Запишем неравенство Маркова, учитывая, что М(Х) = а и  = 360.

.

Ответ: Р(Х  360)  2/3.

17.2. Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 1 млн. руб., вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тыс. руб. – 0,5. Оцените число вкладчиков.

Решение. Пусть СВ Х – размер отдельного вклада. Из условия задачи следует, что средний размер вклада можно оценить по формуле М(Х) = (тыс. руб.). Воспользуемся неравенством Маркова

.

Так как Р(Х  10) = 0,5, то . Тогда n  200.

Ответ: число вкладчиков не более 200.

17.3. СВ Х имеет дисперсию D(X) = 0,009. Оценить вероятность того, что СВ Х отличается от М(Х) более чем на 0,3.

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева

P(|X – a| > 0,3)  .

Ответ: P(|X – a| > 0,3)  0,1.

17.4. Вероятность того, что при одном дозвоне приемник телефонного аппарата сработает правильно, равна 0,95. Найти минимальное число звонков, которые надо осуществить, чтобы частота правильной работы автомата была бы заключена в границах от 0,94 до 0,96 включительно с вероятностью не менее 0,96.

Решение. Воспользуемся следствием неравенства Чебышева для оценки частости

.

В нашем случае  = 0,01, р = 0,95, q = 0,05. Получим

.

По условию задачи

.

.

n  11875.

Ответ: используя неравенство Чебышева получаем минимальное число звонков, равное 11875.

17.5. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше, чем на 3%.

Решение. Воспользуемся формулой для оценки вероятности отклонения частости некоторого события от вероятности единичного появления этого события

.

В нашем случае

.

Ответ: .

17.6. Для определения средней урожайности поля площадью 1200 га взяли на выборку по 1 м² с каждого гектара. Известно, что дисперсия не превышает 4. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю более, чем на 0,25 ц.

Ответ: .

17.7. Монета подбрасывается 1000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частости появления герба от 1/2 на величину меньшую, чем на 0,1.

Ответ: .

17.8. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,9. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,9 не превысит 0,01?

Ответ: N  18000.

17.9. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в 10000 испытаниях отклонение частости события А от его вероятности не превышает по величине 0,01.

Ответ: .

17.10. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что нормально распределенная СВ отклонится от своего математического ожидания не менее, чем на три средних квадратических отклонения.

Ответ: .