2.3. Произведение матриц.

Умножение матриц – это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матрицы можно рассматривать как векторы- строки и векторы-столбцы соответствующих размерностей : иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк и векторов-столбцов.

Пусть даны матрица А размером и матрица В размером . Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов – строк размерности п каждый, а матрицу В – как совокупность k векторов – столбцов , каждый из которых содержит по п координат.

Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны скалярным произведениям векторов-строк матрицы А на векторы-столбцы матрицы В:

,

Для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скалярные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В; вторая строка матрицы С получается как скалярные произведения второй вектор – строки матрицы А на все вектор – столбцы матрицы В и так далее. Для удобства запоминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц – сомножителей: , т. е. Размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чисел: .

В операции умножения матриц есть характерная особенность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. тогда если А и В – прямоугольные матрицы , то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формирующих элементы соответствующей матрицы, должны участвовать векторы с одинаковым числом координат.

Если матрицы А и В квадратные размером , то имеет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц ВА, причем размер этих матриц такой же, как и у исходных сомножителей. При этом в общем случае перемножения матриц правило перестановочности не соблюдается, т.е. .

Рассмотрим примеры на умножения матриц.

Пример 4.

РЕШЕНИЕ. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (1.2) получаем в произведении матрицу размером

Произведение ВА не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.

Свойства произведения матриц. Пусть А,В, и С – матрицы соответствующих размеров, а – действительное число. Тогда следующие свойства произведения матриц имеют место:

1. ,

2. ,

3. ,

4. 

2.4. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера . Её можно рассматривать систему, состоящую из мерных векторов. Поскольку любая система векторов характеризуется рангом, то естественно встает вопрос о такой же характеристике для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности векторов – векторы- строки и векторы- столбцы, то у матрицы два ранга – строчечный и столбцовый. Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 1. Строчечный и столбцовый ранги любой матрицы равны.

Стало быть, ранг любой матрицы размера можно искать как ранг одной из двух систем векторов. Для прямоугольной матрицы максимальный ранг . Для квадратной матрицы размером ее максимальный ранг не может превышать .